2019年高考数学精讲二轮练习2-6-3 4页

‎1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，即x＝y－2，由得y2－6y＋8＝0.‎ 由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，‎ ‎∴x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，∵F(1,0)，∴·＝(x1－1)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16 B．‎14 C．12 D．10‎ ‎[解析]　由题意可知，点F的坐标为(1,0)，直线AB的斜率存在且不为0，故设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 由得y2－4my－4＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝‎4m，y1y2＝－4，‎ ‎∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝‎4m2‎＋2，‎ ‎∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝‎4m2‎＋4.‎ ‎∵AB⊥DE，∴直线DE的方程为x＝－y＋1，|DE|＝＋4，‎ ‎∴|AB|＋|DE|＝‎4m2‎＋4＋＋4‎ ‎＝4＋8≥4×2＋8＝16，‎ 当且仅当m2＝，即m＝±1时，等号成立．‎ ‎∴|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.‎ ‎[解析]　由题意可知C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k的直线方程为x＝＋1，设A，B，将直线方程与抛物线方程联立得整理得y2－y－4＝0，从而得y1＋y2＝，y1·y2＝－4.‎ ‎∵M(－1,1)，∠AMB＝90°，∴·＝0，‎ 即·＋(y1－1)(y2－1)＝0，即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎[解]　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，或k＝1，‎ 因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16‎ 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ 圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合．解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用．‎