2019年高考数学练习题汇总(二)矩阵与变换 2页

‎(二)矩阵与变换 ‎1．(2018·南京模拟)已知矩阵A＝，B＝.若直线l：x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．‎ 解　因为A＝，B＝，‎ 所以AB＝，‎ 设点P0(x0，y0)是l上任意一点，‎ P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(x，y)，‎ 因为P0(x0，y0)在直线l：x－y＋2＝0上，‎ 所以x0－y0＋2＝0.①‎ 由AB＝，‎ 即 ＝，‎ 得即②‎ 将②代入①得x－4y＋4＝0，‎ 所以直线l1的方程为x－4y＋4＝0.‎ ‎2．已知曲线C：y2＝x，C在矩阵M＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．‎ 解　设A＝NM，则A＝ ＝，‎ 设P(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上对应的点为P(x，y)，‎ 则＝ ＝，‎ 即∴ 又点P(x′，y′)在曲线C：y2＝x上，‎ ‎∴2＝y，即x2＝2y.‎ ‎3．已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量．‎ 解　矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.‎ 因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1.‎ 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.‎ 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，‎ 则得x＝－y.‎ 令x＝1，则y＝－1，‎ 所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.‎ ‎4．(2018·扬州模拟)已知x，y∈R，若点M(1,1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3,5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.‎ 解　因为A＝，‎ 即 ＝，‎ 即解得 所以A＝.‎ 设A－1＝，‎ 则AA－1＝ ＝，‎ 即解得 所以A－1＝.‎