2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(一) 3页

‎(一)三角函数与解三角形 ‎1．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求2α－β的值．‎ 解　(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，‎ 所以cos α＝，‎ 所以cos 2α＝2cos2α－1＝.‎ ‎(2)因为点Q的纵坐标为，‎ 所以sin β＝.‎ 又因为β为锐角，所以cos β＝.‎ 因为cos α＝，且α为锐角，‎ 所以sin α＝，‎ 因此sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ‎＝ ×－×＝.‎ 因为α为锐角，所以0<2α<π.‎ 又cos 2α>0，所以0<2α<，‎ 又β为锐角，所以－<2α－β<，‎ 所以2α－β＝.‎ ‎2．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sin·sin，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和值域；‎ ‎(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求sin 2x0的值．‎ 解　(1)易得f(x)＝sin2x＋sin 2x＋(sin2x－cos2x)‎ ‎＝＋sin 2x－ ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期为π，值域为.‎ ‎(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，得 sin＝－<0，‎ 又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，‎ 所以－≤2x0－<0，故cos＝，‎ 此时sin 2x0＝sin ‎＝sincos ＋cossin ‎＝－×＋×＝.‎ ‎3．(2018·江苏省泰州中学月考)已知f(x)＝sin－cos x.‎ ‎(1)求f(x)在上的最小值；‎ ‎(2)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，b＝5，cos A＝，且f(B)＝1，求a的长．‎ 解　(1)f(x)＝－cos x ‎ ＝sin x＋cos x＝sin.‎ ‎∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，‎ ‎∴当x＝π时，f(x)min＝－.‎ ‎(2)∵当x＋＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)有最大值1，‎ 又f(B)＝1，B是三角形的内角，∴B＝，‎ ‎∵cos A＝，A是三角形的内角，∴sin A＝.‎ 由＝，得a＝8.‎ ‎4．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin－cos C＝.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若c＝2，求当△ABC的周长最大时三角形的面积．‎ 解　(1)sin－cos C＝sin C＋cos C－cos C ‎＝sin C－cos C＝sin，‎ 所以sin＝，‎ 因为C∈(0，π)，所以C－∈，‎ 所以C－＝，即C＝.‎ ‎(2)因为C＝，c＝2，由余弦定理得，‎ ‎(2)2＝a2＋b2－2abcos C，即12＝(a＋b)2－3ab，‎ 因为ab≤2，所以(a＋b)2≤48,0