内蒙古呼和浩特市2020届高三第二次质量普查调研考试（二模）数学（理）试题 Word版含解析 23页

‎2020届呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若复数z满足，则z的虚部为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，利用复数除法运算得到答案.‎ ‎【详解】，故，故虚部为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎2.设，集合，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 先化简集合A,再求.‎ ‎【详解】由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B ‎【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.‎ ‎3.已知为第三象限角，且，，则m的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角度范围得到，利用三角恒等变换公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，‎ 解得，为第三象限角，则，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用三角恒等变换公式求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎4.已知，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的加减法运算，列方程组即可求.‎ ‎【详解】根据条件，∴.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎5.每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调査了部分市民（问卷调査表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表（如下图）‎ 由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（ ）‎ A. 500，28.8° B. 250，28.6° C. 500，28.6° D. 250，28.8°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据调查结果条形图中选择A的人数，结合调查结果扇形统计图中选择A的人数的比例求出接受调查市民的总人数，这样可以求出选择D选项的人数，最后根据调查结果扇形统计图求出E的圆心角度数即可.‎ ‎【详解】设接受调查市民的总人数为，由调查结果条形图可知选择A的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A的人数的比例为，因此有，‎ 而选择D选项的人数为：，‎ 扇形统计图中E的圆心角度数为：‎ ‎.‎ 故选：A - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，考查了数学运算能力，属于基础题.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据流程图逐次计算每次循环时各变量的值后可得正确的选项.‎ ‎【详解】初始条件：，‎ 显然成立，进入循环体，，，‎ 显然成立，进入循环体，，，‎ 显然成立，进入循环体，，，‎ 显然成立，进入循环体，，，‎ 显然不成立，退出循环体，输出.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了程序框图输出问题，考查了循环结构的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎7.设m，n是空间的两条直线，是空间的一个平面，当时，“”是“”的（ ）‎ - 23 -‎ A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直性质和线面垂直的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】当时，根据线面垂直的性质可知：由能推出；‎ 当时，根据线面垂直的定义可知；只有当直线与平面内所有的直线都垂直时，才有，所以仅有是推不出成立的，因此当时，“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了线面垂直的定义和性质，考查了推理论证能力.‎ ‎8.函数的图象向右平移个长度单位后，得到的图象对应的函数解析式为，则下面四个判断：①在上单调递增；②在上单调递增；③；④是的一个对称中心.其中正确的判断有（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数平移法则得到，再根据三角函数的单调性和对称性依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当时，，函数在端点处无意义，①错误；‎ - 23 -‎ 当时，，函数在处无意义，②错误；‎ ‎，③错误；‎ 当时，，故④正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的单调性和对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎9.已知实数是给定的常数，函数的图象不可能是(　 　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 当m=0，说明函数图象可能为C；当时，对函数求导，确定其极值点的正负以及极值点的和的大小即可判断.‎ ‎【详解】当m=0，函数图象可能是C；‎ 当m≠0，，，‎ 设的两根为则<0，则两个极值点异号．‎ - 23 -‎ 当时，函数的图象是先减后增再减，且，‎ 函数图象可能是B；‎ 当时，函数的图象是先增后减再增，且，‎ 则函数图象可能是A，不可能是D．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题.‎ ‎10.已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据点在椭圆的外部，求出的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.‎ ‎【详解】因为点在椭圆的外部，‎ 所以，即，‎ 则圆的圆心到直线的距离 ‎，‎ 所以直线与圆相交 故选：B ‎【点睛】‎ - 23 -‎ 本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题.‎ ‎11.已知定义在上的函数满足①，②，③在上表达式为，则函数与函数的图像在区间上的交点个数为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵①，②，可知图像的对称中心为，图像的对称轴为，结合③画出和的部分图像，如图所示，据此可知与的图像在上有6个交点.故选B.‎ 考点：借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数.‎ ‎12.已知分别为双曲线 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：‎ 设P点坐标为，写出直线PA、PF的斜率，利用及它们与斜率的关系可建立的方程，此即为P点的轨迹方程与双曲线标准方程比较可得关系，从而得离心率.‎ 详解：‎ - 23 -‎ 设，又，∵，‎ ‎∴，，‎ 又，‎ ‎∴，整理得，‎ 这是P点的轨迹方程，又P点轨迹方程为，‎ ‎∴，∴，‎ 故选C.‎ 点睛：‎ 求双曲线的离心率，一般要求出的一个关系等式，这可从双曲线的几何性质分析得出，本题中由于已知是，而这两个角可以与相应直线的斜率有关，因此可以通过正切的二倍角公式建立P点的轨迹方程，这应该是双曲线的标准方程，比较后得出的关系.这种方法比较特殊，可以体会学习.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）‎ ‎13. .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：.‎ 考点：定积分的计算.‎ - 23 -‎ ‎【名师点睛】本题主要考查定积分计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.‎ ‎14.将标号为1，2，3的3个不同小球，随机放入5个不同的盒子A，B，C，D，E中，则恰有两个小球放入同一个盒子的概率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算总的放法和满足条件的放法，相除得到答案.‎ ‎【详解】根据题意：共有种方法；满足条件的放法有种，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎15.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线，为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点M，N，且千米，若要求观景台P与两接送点所成角与相等，记，观景台P到M，N建造的两条观光线路与之和记为y，则把y表示为的函数为y=______；当两台观光线路之和最长时，观景台P到A点的距离______千米.‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 利用余弦定理得到，根据正弦定理得到，，根据三角恒等变换得到函数解析式，计算得到答案.‎ ‎【详解】，故，‎ ‎，，，‎ 在中，根据正弦定理：，‎ 故，，‎ 故，‎ 故，‎ 当时，最大，此时，为等边三角形，故.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16.已知正方体的棱长为2，平面过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面内的正投影面积是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的性质，结合线面角的定义，判断出平面的位置情况，最后根据正投影的定义、菱形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【详解】正方体中所有的棱是三组平行的棱，如图所示：‎ - 23 -‎ 图中的正三角形所在的平面或者与该平面平行的平面为平面，满足与正方体每条棱所在直线所成的角相等，‎ 正三角形是平面截正方体所形成三角形截面中，截面面积最大者，正方体的棱长为2，‎ 所以正三角形的边长为：，正方体中，‎ 三个面在平面的内的正投影是三个全等的菱形，如下图所示：‎ 可以看成两个边长为的等边三角形，‎ 所以正方体在平面内的正投影面积是：‎ ‎.‎ 故答案为；‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面所成的角的定义，考查了空间想象能力和数学运算能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写岀文字说明，证眀过程或演算步骤.）‎ ‎17.如图，三棱柱中，D是的中点.‎ - 23 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面.求平面与侧面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，记，连接，证明得到答案.‎ ‎（2）证明，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，利用向量夹角公式得到答案.‎ ‎【详解】（1）连接，记，连接，故为中点，‎ D是的中点，所以，又平面，平面.‎ 故平面.‎ ‎（2）取边中点点O，连接，，因为，为等边三角形，‎ - 23 -‎ ‎，所以，，‎ 又平面平面，且平面平面，‎ 平面，所以，，两两互相垂直.‎ 故以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示：‎ 则由题意可知，，.‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 令，解得，得.‎ 显然平面的一个法向量为.‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ - 23 -‎ 本题考查了线面平行，利用向量求二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎18.已知数列的前项和 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式进行求解即可；‎ ‎（2）运用裂项相消法进行求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 当时，，①‎ 所以有，②‎ ‎①②得：，‎ 经检验不符合上式，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由（1）得当时，，‎ 当时 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎.‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了已知求，考查裂项相消法求数列的前n项和，考查了数学运算能力.‎ ‎19.已知一条曲线C在y轴右侧，曲线C上任意一点到点的距离减去它到y轴的距离都等于1.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）直线与轨迹C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点，使得直线与关于x轴对称而与直线的位置无关，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据题意得到方程化简得到答案.‎ ‎（2）设，，联立方程，根据韦达定理得到根与系数关系，计算，化简整理得到答案.‎ ‎【详解】（1）设是曲线C上任意一点，那么点满足：，‎ 化简得，又因曲线C在y轴右侧，故，‎ 所以曲线C方程为：. ‎ ‎（2）在x轴上存在定点使得直线与关于x轴对称而与位置无关.‎ 理由如下：‎ 设直线与曲线C的交点坐标为，， ‎ 由，消去x，整理得，，‎ - 23 -‎ 由韦达定理得，，. ‎ 假设存在点，使得直线与关于x轴对称而与位置无关，‎ 则对任意实数m恒成立，即对任意实数m恒成立，‎ 而，所以，‎ 所以，又，所以.‎ 故当对任意实数m，，‎ 即在x轴上存在点，使得直线与关于x轴对称而与位置无关.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，抛物线中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生“体能达标”情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲乙两组学生人数的比为3:2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36.‎ ‎（1）估计该样本校学生体能测试的平均成绩；‎ ‎（2）求该样本校40名学生测试成绩的标准差s；‎ ‎（3）假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？‎ ‎（注：1.本题所有数据的最后结果都精确到整数；2若随机变量z服从正态分布，则，，）‎ ‎【答案】（1）74；（2）.（3）可估计该样本校学生“体能达标”测试合格.‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由甲乙两组学生人数可求得总均分；‎ ‎（2）设第一组学生的测试成绩分别为，第二组学生的测试成绩分别为，由已知方差求得和，结合（1）可得总方差；‎ ‎（3）由已知数据知，然后求出不合格的概率得不合格人数，从而得结论．‎ ‎【详解】解：（1）由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，‎ 则这40名学生测试成绩的平均分 ‎ 故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74，. ‎ ‎（2）由变形得 设第一组学生的测试成绩分别为，‎ 第二组学生的测试成绩分别为，‎ 则第一组的方差为 ‎，‎ 解得.‎ 第二组的方差为 解得.‎ 这40名学生的方差为 ‎，‎ - 23 -‎ 所以.‎ 综上，标准差.‎ ‎（3）由，，得的估计值为，的估计值 由，‎ 得，‎ 即 所以. ‎ 从而，在全校1000名学生中，“不合格”的有（人） ‎ 而，‎ 故可估计该样本校学生“体能达标”测试合格.‎ ‎【点睛】本题考查样本数据的均值与方差，正态分布的概率性质，考查用样本估计总体．属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数的极小值为1，求实数m的值；‎ ‎（2）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，讨论和两种情况，根据单调区间计算极值得到答案.‎ ‎（2）题目等价于时，恒成立，构造函数，求导，计算导函数的导数，讨论和两种情况，根据函数的单调性计算最值得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ - 23 -‎ ‎①若，则在R上恒成立，‎ ‎∴在单调递增，所以无极值；‎ ‎②若，当时，，当时，，‎ 即在单调递减，在单调递增，‎ 所以的极小值为，由，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎（2），函数图像全部在第一象限，等价于时，恒成立，‎ 令，，‎ 令，，令，‎ 显然在单调递增，∴. ‎ 当时，，所以，∴在单调递增，‎ ‎∴，即，∴在单调递增，‎ 所以，此时符合题意； ‎ 当时，，∴，使，‎ 故在恒为负值，在单调递减，此时，‎ 所以在单调递减，所以，此时不符合题意. ‎ 故所求m的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了根据极值求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，构造函数求最值是解题的关键.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 ‎【选修4-4坐标系与参数方程】‎ - 23 -‎ ‎22.在极坐标系中，已知极点为O，点A的极坐标为，动点P满足.‎ ‎（1）写出动点P的轨迹C的极坐标方程；‎ ‎（2）已知直线和与轨迹C分别交于异于极点O的点，并分别记为M、N，点D是线段的中点，求出与的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面向量数量积为零两个平面向量的性质，结合锐角三角形函数的性质进行求解即可；‎ ‎（2）利用极坐标的几何意义，结合三角形面积公式进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）设，因为，所以，.‎ 因此三角形是直角三角形，在中，‎ 有，或 ‎∴，或，而，‎ 故所求极坐标方程为；‎ ‎（2）将和分别代入得 ‎，，‎ 显然，，‎ 故 ‎ 又是线段的中点，故 - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了求曲线的极坐标方程，考查了点的极坐标的几何意义，考查了数学运算能力.‎ ‎【选修4-5不等式选讲】‎ ‎23.（1）已知，，比较A与B的大小；‎ ‎（2）已知，求证：，，中至少有一个不大于.‎ ‎【答案】（1），当且仅当，时等号成立.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可；‎ ‎（2）运用反证法，结合基本不等式进行证明即可.‎ ‎【详解】（1）解：因为 所以，当且仅当，时等号成立. ‎ ‎（2）证明：假设，，三个均大于. ‎ 因为，所以，，，‎ 根据基本不等式得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，出现矛盾. ‎ 所以假设不成立，即，，中至少有一个不大于.‎ ‎【点睛】本题考查了用作差比较法判断两个式子的大小，考查了反证法的应用，考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.‎ - 23 -‎ - 23 -‎