- 1.01 MB
- 2021-05-11 发布
1.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
2.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
【知识拓展】
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( × )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( × )
(4)在四边形ABCD中，＝且·＝0，则四边形ABCD为矩形.( × )
(5)两个向量的夹角的范围是[0，].( × )
1.设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有________个.
答案 1
解析 由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cos θ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cos θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确.
2.(教材改编)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________.
答案 －16
解析 画图可知向量与夹角为角C的补角(图略)，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－)＝－16.
3.(教材改编)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.
答案
解析 ∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
又a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，∴m＝.
4.(教材改编)已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是________.
答案 －3
解析 b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.
5.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝，AD＝1，且·＝－，则·＝________.
答案
解析 因为＝＝(＋)
＝＋，
＝＝(－)，
所以·＝(＋)·(－)＝，所以·＝.
题型一 平面向量数量积的运算
例1 (1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°.若E为DC
的中点，且·＝1，则·的值为________.
(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________.
答案 (1)3 (2)1 1
解析 (1)设AB＝m(m>0)，以向量，为基底，在▱ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，则·＝(＋)·(－)＝2－·－2＝4－m－m2，因为·＝1，得m2＋m－6＝0，因为m>0，所以m＝2，所以·＝·(＋)＝(－)·(－)＝2－·＋2＝4－3＋2＝3，故·＝3.
(2)方法一 以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
因为＝(1,0)，
所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
方法二 由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，∴·＝||·1＝1，
当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC＝1，
∴(·)max＝||·1＝1.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解.
(1)(2016·全国丙卷改编)已知向量＝，＝，则∠ABC＝________.
(2)(2015·四川改编)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝________.
答案 (1)30° (2)9
解析 (1)∵||＝1，||＝1，
cos∠ABC＝＝，
又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.
(2)∵＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9.
题型二 平面向量数量积的应用
命题点1 求向量的模
例2 (1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且＝2，AD＝，则AC的长为________.
答案 3
解析 令AC＝b，由题意得
·＝4bcos 120°＝－2b，
因为点D在边BC上，
且＝2，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
从而2＝(＋)2，
又因为AD＝，
所以＝＋－，
整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍去)，
即AC的长为3.
(2)(2016·江苏启东中学阶段测试)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角等于150°，b与c的夹角等于120°，|c|＝2，求|a|，|b|.
解 由a＋b＋c＝0，
得⇒
∴
解之得|a|＝2，|b|＝4.
命题点2 求向量的夹角
例3 (1)(2016·南京、盐城调研)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________.
(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是____________.
答案 (1) (2)∪
解析 (1)设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝得，
21＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－10cos θ，
即cos θ＝，所以向量a，b的夹角为.
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，
∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，
∴4k－6－6＜0，
∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.
当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向.
综上，k的取值范围为∪.
思维升华 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π].
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(1)(2015·湖北)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
(2)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是________.
答案 (1)9 (2)
解析 (1)因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.
(2)∵·＝－1，
∴||·||·cos 120°＝－1，
即||·||＝2，
∴||2＝|－|2＝2－2·＋2
≥2||·||－2·＝6，
∴||min＝.
题型三 平面向量与三角函数
例4 (2016·南通调研)已知△ABC是锐角三角形，向量m＝(cos(A＋)，sin(A＋))，n＝(cos B，sin B)，且m⊥n.
(1)求A－B的值；
(2)若cos B＝，AC＝8，求BC的长.
解 (1) 因为m⊥n，
所以m·n＝cos(A＋)cos B＋sin(A＋)sin B
＝cos(A＋－B)＝0.
又A，B∈(0，)，所以A＋－B∈(－，)，
所以A＋－B＝，即A－B＝.
(2)因为cos B＝，B∈(0，)，所以sin B＝.
所以sin A＝sin(B＋)＝sin Bcos ＋cos Bsin
＝×＋×＝.
由正弦定理，得BC＝·AC＝×8＝4＋3.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
在△ABC中，已知C＝，m＝(sin A,1)，n＝(1，cos B)，且m⊥n.
(1)求A的值；
(2)若点D在边BC上，且3＝，AD＝，求△ABC的面积.
解 (1)由题意知m·n＝sin A＋cos B＝0，
因为C＝，A＋B＋C＝π，所以sin A＋cos(－A)＝0，
即sin A－cos A＋sin A＝0，
即sin(A－)＝0.
又00)的图象上任意一点，过M点向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝________.
答案 －2
解析 设M(x0，y0)为函数f(x)＝ (x>0)的图象上任意一点，由题设知B(0，y0)，A(，)，从而＝(，)，＝(－x0,0)，故·＝，因为M(x0，y0)为函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，所以x0y0＝x＋4，从而有·＝＝＝－2.
12.(2016·苏北四市调研)已知||＝||＝，且·＝1，若点C满足|＋|＝1，则||的取值范围是____________.
答案 [－1，＋1]
解析 因为·＝||×||×cos〈，〉＝1，||＝||＝，所以cos〈，〉＝，所以〈，〉＝，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(，0)，B(，).
令＝＋＝(，)，则||＝，
因为|＋|＝|＋－|＝|－|＝1，
所以点C的运动轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆，而||＝，则||的取值范围为[－1，＋1].
13.(2016·江苏如东中学质检)在△ABC中，B＝，D是边BC上一点，AD＝5，CD＝3，AC＝7.
(1)求∠ADC的值；
(2)求·的值.
解 (1)在△ADC中，由余弦定理得
AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝AC2，
52＋32－2×5×3×cos∠ADC＝72，
所以cos∠ADC＝－.
又因为0<∠ADC<π，所以∠ADC＝.
(2)由(1)得∠ADB＝.
在△ABD中，由正弦定理＝，
得AB＝×sin∠ADB＝.
所以·＝×5×cos(π－－)
＝.
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＋cos 2C＝1.
(1)求角C的大小；
(2)若向量m＝(3a，b)，向量n＝(a，－)，m⊥n，(m＋n)·(m－n)＝16，求a，b，c的值.
解 (1)∵2sin2＋cos 2C＝1，
∴cos 2C＝1－2sin2
＝cos(A＋B)＝－cos C，
∴2cos2C＋cos C－1＝0，
∴cos C＝或cos C＝－1，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵m⊥n，∴3a2－＝0，即b2＝9a2. ①
又(m＋n)·(m－n)＝16，
∴8a2＋＝16，即a2＋＝2， ②
由①②可得a2＝1，b2＝9，∴a＝1，b＝3，
又c2＝a2＋b2－2abcos C＝7，
∴c＝，∴a＝1，b＝3，c＝.