【数学】2018届一轮复习北师大版空间图形的基本关系与公理（理）教案 9页

第二节　空间图形的基本关系与公理 ‎[考纲传真]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎1．空间图形的公理 ‎(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．‎ ‎(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．‎ ‎(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ ‎(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．‎ ‎2．空间中两直线的位置关系 ‎(1)空间中两直线的位置关系 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．‎ ‎(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎4．定理(等角定理)‎ 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ ‎(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ ‎(4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)如图721所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)‎ 图721‎ A．30°　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，‎ 故∠D1B1C为所求的角，‎ 又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]‎ ‎3．在下列命题中，不是公理的是(　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A　[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是公理．]‎ ‎4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．]‎ ‎5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．‎ b与α相交或bα或b∥α 空间图形的公理及其应用 ‎　如图722，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ 图722‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ ‎[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1. 2分 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面. 5分 ‎(2)∵EF∥CD1，EF