高中人教a版数学必修4：第二章 章末检测 word版含解析 6页

第二章章末检测 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．下列各式叙述不正确的是( ) A．若 a＝λ b，则 a、b 共线 B．若 b＝3a(a 为非零向量)，则 a、b 共线 C．若 m＝3a＋4b，n＝3 2a－2b，则 m∥n D．若 a＋b＋c＝0，则 a＋b＝－c 答案：C 解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解． 2．已知向量 a，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A．|a|＝ a·a B．|a·b|＝|a|·|b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b| 答案：B 解析：|a·b|＝|a|·|b||cosθ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知 B 是错误的． 3．已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为( ) A. 3 5 ，－4 5 B. 4 5 ，－3 5 C. －3 5 ，4 5 D. －4 5 ，3 5 答案：A 解析：AB→＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e＝ AB→ |AB→| ＝1 5(3，－4)＝ 3 5 ，－4 5 . 4．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，那么 ( ) A.AO→ ＝OD→ B.AO→ ＝2OD→ C.AO→ ＝3OD→ D．2AO→ ＝OD→ 答案：A 解析：由于 2OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，则OB→ ＋OC→ ＝－2OA→ ＝2AO→ . 所以1 2(OB→ ＋OC→ )＝AO→ ，又 D 为 BC 边中点， 所以OD→ ＝1 2(OB→ ＋OC→ )．所以AO→ ＝OD→ . 5．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案：C 解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝1×6×cosθ－1＝2，cosθ＝1 2 ，θ∈[0，π]，故θ＝π 3. 6．若四边形 ABCD 满足：AB→＋CD→ ＝0，(AB→＋DA→ )⊥AC→，则该四边形一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．直角梯形 答案：B 解析：由AB→＋CD→ ＝0⇒AB→∥DC→ 且|AB→|＝|DC→ |，即四边形 ABCD 是平行四边形，又(AB→＋ DA→ )⊥AC→⇒AC→⊥DB→ ，所以四边形 ABCD 是菱形． 7．给定两个向量 a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则 x 等于( ) A.13 27 B.13 2 C.13 3 D. 7 27 答案：D 解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a ＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝ 7 27. 8．如图所示，在重 600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为 30°，60°，重 物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( ) A．300 3N,300 3N B．150N,150N C．300 3N,300N D．300N,300N 答案：C 解析：如图：作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，|OA→ |＝|OC→ |cos30° ＝300 3N. |OB |→＝|OC→ |sin30°＝300N. 9．已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝ 5，若(a＋b)·c＝5 2 ，则 a 与 c 的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：由条件知|a|＝ 5，|b|＝2 5，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝ 5，∵(a＋b)·c＝5 2 ， ∴ 5× 5·cosθ＝5 2 ，其中θ为 a＋b 与 c 的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b 与 a 方向 相反，∴a 与 c 的夹角为 120°. 10．若向量AB→＝(1，－2)，n＝(1,3)，且 n·AC→＝6，则 n·BC→等于( ) A．－8 B．9 C．－10 D．11 答案：D 解析：n·AB→＝1－6＝－5，n·AC→＝n·(AB→＋BC→)＝n·AB→＋n·BC→＝6，∴n·BC→＝11. 11．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，BD→ ＝1 3BA→，E 是 CA 的中点，则CD→ ·BE→等于( ) A．－1 2 B．－2 3 C．－1 3 D．－1 6 答案：A 解析：建立如图所示的直角坐标系，则 A －1 2 ，0 ，B 1 2 ，0 ，C 0， 3 2 ，依题意设 D(x1,0)， E(x2，y2)，∵BD→ ＝1 3BA→，∴ x1－1 2 ，0 ＝1 3(－1,0)，∴x1＝1 6. ∵E 是 CA 的中点，∴CE→＝1 2CA→，又CA→＝ －1 2 ，－ 3 2 ，∴x2＝－1 4 ，y2＝ 3 4 . ∴CD→ ·BE→＝ 1 6 ，－ 3 2 · －3 4 ， 3 4 ＝1 6 × －3 4 ＋ － 3 2 × 3 4 ＝－1 2.故选 A. 12．已知|a|＝2 2，|b|＝3，a，b 的夹角为π 4 ，如图所示，若AB→＝5a＋2b，AC→＝a－3b， 且 D 为 BC 中点，则AD→ 的长度为( ) A.15 2 B. 15 2 C．7 D．8 答案：A 解析：AD→ ＝1 2(AB→＋AC→)＝1 2(5a＋2b＋a－3b)＝1 2(6a－b) ∴|AD→ |2＝1 4(36a2－12ab＋b2)＝225 4 . ∴|AD→ |＝15 2 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则 a·b＝________. 答案：3 解析：a·b＝2× 3× 3 2 ＝3. 14．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________． 答案：[0,1] 解析：∵b·(a－b)＝0，∴a·b＝b2，即|a||b|·cosθ＝|b|2，当 b≠0 时，|b|＝|a|cosθ＝cosθ∈(0,1]， 所以|b|∈[0,1]． 15．设向量 a 与 b 的夹角为α，且 a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则 cosα＝________. 答案：3 10 10 解析：设 b＝(x，y)，则 2b－a＝(2x－3,2y－3)＝ (－1,1)，∴x＝1，y＝2，则 b＝(1,2)， cosα＝ a·b |a|·|b| ＝ 9 3 2× 5 ＝ 3 10 ＝3 10 10 . 16．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c；②若 a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则 k＝－3；③非零向量 a 和 b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则 a 与 a＋b 的夹角为 60°，其中真命题的序号为________．(写出 所有真命题的序号) 答案：② 解析：①a 与 b 的夹角为θ1，a 与 c 的夹角为θ2. a·b＝a·c， 有|a||b|cosθ1＝|a||c|cosθ2，得不到 b＝c，错误． ②a＝(1，k)，b＝(－2,6)， ∵a∥b，∴b＝λa，得 k＝－3.正确． ③设|a|＝|b|＝|a－b|＝m(m>0)， 且 a 与 a＋b 的夹角为θ. 则有(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝m2， ∴2a·b＝m2. a·(a＋b)＝a2＋a·b＝m2＋m2 2 ＝3m2 2 ， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝m2＋m2＋m2＝3m2， ∴cosθ＝a·a＋b |a||a＋b| ＝ 3 2m2 m· 3m ＝ 3 2 . ∴θ＝30°.∴③错误． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10 分)已知|a|＝4，|b|＝8，a 与 b 的夹角是 150°，计算： (1)(a＋2b)·(2a－b)； (2)|4a－2b|. 解：(1)(a＋2b)·(2a－b) ＝2a2＋3a·b－2b2 ＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2 ＝2×42＋3×4×8× － 3 2 －2×82 ＝－96－48 3. (2)|4a－2b|＝ 4a－2b2 ＝ 16a2－16a·b＋4b2 ＝ 16|a|2－16|a|·|b|·cos150°＋4|b|2 ＝ 16×42－16×4×8×－ 3 2 ＋4×82 ＝8( 2＋ 6) 18．(12 分)已知向量 a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R， (1)求|a＋tb|的最小值及相应的 t 值； (2)若 a－tb 与 c 共线，求实数 t 的值． 解：(1)∵a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)， ∴a＋tb＝(－3,2)＋t(2,1)＝(－3＋2t,2＋t)， ∴|a＋tb|＝ －3＋2t2＋2＋t2 ＝ 5t2－8t＋13 ＝ 5 t－4 5 2＋49 5 ≥ 49 5 ＝7 5 5 ， 当且仅当 t＝4 5 时取等号，即|a＋tb|的最小值为7 5 5 ，此时 t＝4 5. (2)∵a－tb＝(－3－2t,2－t)， 又 a－tb 与 c 共线，c＝(3，－1)， ∴(－3－2t)×(－1)－(2－t)×3＝0，解得 t＝3 5. 19．(12 分)已知 a＝(1,1)、b＝(0，－2)，当 k 为何值时， (1)ka－b 与 a＋b 共线； (2)ka－b 与 a＋b 的夹角为 120°. 解：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2) ∵ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2) a＋b＝(1，－1) (1)要使 ka－b 与 a＋b 共线，则－k－(k＋2)＝0，即 k＝－1. (2)要使 ka－b 与 a＋b 的夹角为 120°， ∵|ka－b|＝ k2＋k＋22， |a＋b|＝ 2， ∴cos120°＝ka－b·a＋b |ka－b|·|a＋b| ＝ k－k－2 2· k2＋k＋22 ＝－1 2. 即 k2＋2k－2＝0，解得 k＝－1± 3. 20．(12 分)已知向量OP1 → 、OP2 → 、OP3 → 满足条件OP1 → ＋OP2 → ＋OP3 → ＝0，|OP1 → |＝|OP2 → |＝|OP3 → | ＝1，求证：△P1P2P3 是正三角形． 证明：如图所示，设OD→ ＝OP1 → ＋OP2 → ，由于OP1 → ＋OP2 → ＋OP3 → ＝0，∴OP3 → ＝－OD→ ，|OD→ | ＝1， ∴|OD→ |＝1＝|P1D→ |，∴∠OP1P2＝30°， 同理可得∠OP1P3＝30°，∴∠P3P1P2＝60°. 同理可得∠P2P3P1＝60°， ∴△P1P2P3 为正三角形． 21．(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数 t 满足(AB→－tOC→ )·OC→ ＝0，求 t 的值． 解：(1)由题设知AB→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)， 所以|AB→＋AC→|＝2 10，|AB→－AC→|＝4 2，故所求的两条对角线的长分别为 4 2，2 10. (2)由题设知OC→ ＝(－2，－1)，AB→－tOC→ ＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB→－tOC→ )·OC→ ＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 即 5t＝－11，所以 t＝－11 5 . 22．(12 分)设集合 D＝{平面向量}，定义在 D 上的映射 f 满足：对任意 x∈D，均有 f(x) ＝λx(λ∈R 且λ≠0)． (1)若|a|＝|b|，且 a、b 不共线，试证明：[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)； (2)若 A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且 f(BC→)＝AB→，求 f(AC→)·AB→. 解：(1)证明：∵f(a)－f(b)＝λa－λb＝λ(a－b)， ∴[f(a)－f(b)]·(a＋b)＝λ(a－b)(a＋b)＝λ(a2－b2)＝λ(|a|2－|b|2)＝0， ∴[f(a)－f(b)]⊥(a＋b)． (2)由已知得AB→＝(2,4)，BC→＝(1,2)，AC→＝(3,6)． ∵f(BC→)＝AB→，∴λBC→＝AB→. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2. ∴f(AC→)·AB→＝(2AC→)·AB→＝(6,12)·(2,4)＝60.