【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量基本定理及坐标表示课时作业 6页

‎1．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－2‎ C．±2 D．0‎ 解析：选B.因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.‎ ‎2．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D为AC的中点，则＝(　　)‎ A．(1，3) B．(3，3)‎ C．(－3，－3) D．(－1，－3)‎ 解析：选B.设C(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2 B. C．2 D．4 解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎4．已知非零不共线向量、，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)‎ A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0‎ 解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，‎ 即＝(1＋λ)－λ.‎ 又2＝x＋y，‎ 所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.‎ ‎5．(2019·江西吉安模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A.由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，‎ 因此＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．‎ ‎6．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．‎ 解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.‎ 答案： ‎7．(2019·绵阳诊断)在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．‎ 解析：因为B，P，N三点共线，‎ 所以＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，‎ 又因为＝m＋，‎ 所以解得m＝t＝.‎ 答案： ‎8．(2019·福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________．‎ 解析：由＝(＋－)＝(＋)，知点D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以＝(－2，2)，故||＝＝2.‎ 答案：2 ‎9．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．‎ ‎(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；‎ ‎(2)若＝2，求点C的坐标．‎ 解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，‎ 因为A，B，C三点共线，所以∥.‎ 所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.‎ ‎(2)因为＝2，‎ 所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．‎ 所以解得 所以点C的坐标为(5，－3)．‎ ‎10.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 解：因为＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，‎ 所以＝＋＝a＋b.‎ 因为＝a＋b，‎ 所以＝＋＝＋＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎1.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.因为＝＋，＝，‎ 所以＝＋，‎ 因为＝－，＝，‎ 所以＝－，‎ 所以＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以λ＝，μ＝，‎ 则λ＋μ＝＋＝.‎ ‎2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：选B.由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．‎ ‎3．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.‎ 法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ ‎＋μ＝.‎ 答案： ‎4．(2019·长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的最大值为________．‎ 解析：||2＝(x＋y)2＝9x2＋4y2＋2xy×3×2×＝(3x＋2y)2－3(3x)(2y)≥(3x＋2y)2－(3x＋2y)2＝(3x＋2y)2.又||2＝1，因此(3x＋2y)2≤1，故3x＋2y≤2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，3x＋2y取得最大值2.‎ 答案：2‎ ‎5．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.‎ ‎(1)求△ABM与△ABC的面积之比；‎ ‎(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．‎ 解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．‎ 如图令＝λ得＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，‎ 所以λ＝，‎ 所以＝，即面积之比为1∶4.‎ ‎(2)由＝x＋y得＝x＋，‎ ＝＋y，‎ 由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒‎ ⇒ ‎6．如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．‎ ‎(1)求||；‎ ‎(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．‎ 解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.‎ ‎||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，‎ 所以||＝‎ ＝.‎ ‎(2)设||＝x，||＝y.‎ ＝m＋n(m＋n＝1)，‎ 则＝m＋n＝mxe1＋nye2.‎ 得⇒＋＝1.‎ S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.‎ 因为＋＝1≥，‎ 所以≥2，S△AOB＝xy≥，‎ 当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.‎