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- 2021-05-10 发布
第3讲 基本不等式
[学生用书P122]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
1．辨明两个易误点
(1)使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可．
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．
2．活用几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)；
ab≤(a，b∈R)；≤(a，b∈R)．
3．巧用“拆”“拼”“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
D [解析] 因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，因为ab>0，
所以＋≥2 ＝2.
2．(2017·郑州模拟)设a>0，b>0，若a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A．2 B.
C．4 D．8
C [解析] 由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.
3．若x>1，则x＋的最小值为________．
[解析] x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．
[答案] 5
4. 若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．
[解析] 设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，
所以S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．
[答案] 25 m2
利用基本不等式求最值(高频考点)[学生用书P123]
利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．
高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值；
(2)知积求和的最值；
(3)求参数的值或范围．
[典例引领]
(1)(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是________．
(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
【解析】 (1)由＋＝知a>0，b>0，
所以＝＋≥2 ，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，
所以ab的最小值为2.
(2)因为ln(a＋b)＝0，所以a＋b＝1，
又因为a＞0，b＞0，
所以＋＝(a＋b)＝5＋＋
≥5＋2＝9.
当且仅当＝，即b＝2a＝时取“＝”．
(3)令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
所以 tmax＝＝3.
【答案】 (1)C (2)9 (3)3
利用基本不等式求最值需满足的三个条件
(1)“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．
[题点通关]
角度一 知和求积的最值
1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77
C．81 D．82
C [解析] xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.
角度二 知积求和的最值
2．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是( )
A. B.
C．2＋ D．2－
A [解析] 因为an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝
≥＝，当且仅当n＝4时取等号．
所以的最小值是，故选A.
角度三 求参数的值或范围
3．(2017·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )
A. B.
C．1 D．2
C [解析] 由题意可得a＞0，①当x＞0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x＜0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号．所以解得a
＝1，故选C.
利用不等式解决实际问题[学生用书P123]
[典例引领]
某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
【解】 (1)由题意可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1 808－3x－y(x＞3，y＞3)．
(2)法一：S＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
法二：设S＝f(x)＝1 808－(x＞3)，
则f′(x)＝－3＝，
令f′(x)＝0，则x＝40，
当3＜x＜40时，f′(x)＞0；当x＞40时，f′(x)＜0.
所以当x＝40时，S取得最大值，此时y＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值．
某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域．
(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
[解] (1)由题意得y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0，2]．
(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.
[学生用书P124]
——忽视最值取得的条件致误
(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．
(2)函数y＝1－2x－(x＜0)的最小值为________．
【解析】 (1)因为x＞0，y＞0，
所以x＋y＝(x＋y)
＝3＋＋≥3＋2(当且仅当y＝x时取等号)，
所以当x＝＋1，y＝2＋时，(x＋y)min＝3＋2.
(2)因为x＜0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.
【答案】 (1)3＋2 (2)1＋2
利用基本不等式求最值的注意事项
(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．如本例(2)易忽视x＜0.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件是否一致．在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
1.(2017·合肥市第二次质量检测)若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
C [解析] 因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
2．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．
[解析] y＝
＝
＝－＋15
≤－2＋15＝3.
当且仅当x＝，
即x＝6时，ymax＝3.
[答案] 3
3．已知a，b都是正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0，1)，则＋的最小值是________．
[解析] 依题意得2ae0＋b＝2a＋b＝1，＋＝·(2a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时取等号，所以＋的最小值是3＋2.
[答案] 3＋2
[学生用书P354(独立成册)]
1．当x＞0时，函数f(x)＝有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
B [解析] f(x)＝≤＝1.
当且仅当x＝，x＞0即x＝1时取等号．
所以f(x)有最大值1.
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [解析] 因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．
3．(2017·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [解析] 因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，所以≥1；
又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.
4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
D [解析] 由题意得所以
又log4(3a＋4b)＝log2，
所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，
即3a＋4b＝ab，故＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋
≥7＋2＝7＋4.
当且仅当＝时取等号．故选D.
5．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为( )
A. B.
C. D．L2
A [解析] 设菜园的长为x，宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，
因为x＋2y≥2.
所以xy≤＝.
当且仅当x＝2y＝，
即x＝，y＝时，
Smax＝，故选A.
6．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
C [解析] 根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________．
[解析] 设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3，
因为x>－3，所以x＋3>0，
故f(x)≥2 －3＝2－3，
当且仅当x＝－3时等号成立，
所以a的取值范围是(－∞，2－3]．
[答案] (－∞，2－3]
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
12.
行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大速度是多少？
[解] (1)由试验数据知，s1＝n＋4，s2＝n＋，
所以解之得.
又n∈N，所以n＝6.
(2)由(1)知，s＝＋，v≥0.
依题意，s＝＋≤12.6，
即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60.
因为v≥0，所以0≤v≤60.
故行驶的最大速度为60 km/h.
13．(2017·湖南省东部六校联考)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B.
C. D.
C [解析] 由已知可得＝×(＋)＝＋＝＋，又M、G、N三点共线，故＋＝1，所以＋＝3，则x＋2y＝(x＋2y)··＝≥(当且仅当x＝y时取等号)．故选C.
14．已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则＋的最小值为________．
[解析] 因为x2－2x－3＞0，所以x＜－1或x＞3，
因为A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，所以B＝{x|－1≤x≤4}，所以－1和4是ax2＋bx＋c＝0的根，
所以－1＋4＝－，(－1)×4＝，
所以b＝－3a，c＝－4a，且a＞0，
所以＋≥2＝＝＝，
当且仅当＝时取等号．
[答案]
15．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)＋的最小值．
[解] (1)因为x>0，y>0，
所以由基本不等式，得2x＋5y≥2.
因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
所以当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)因为x>0，y>0，
所以＋＝·
＝≥
＝.
当且仅当＝时，等号成立．
由解得
所以＋的最小值为.
16．(2017·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
[解] 设AP＝x米，AQ＝y米．
(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin 120°＝xy.所以S≤＝2 500.
当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．
(2)由题意得100×(x＋1.5y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000＝1.75＋，当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.