2019年高考数学精讲二轮练习专题跟踪训练26 8页

专题跟踪训练(二十六)‎ 一、选择题 ‎1．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，则满足tan∠PAB·tan∠PBA＝m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是(　　)‎ A．x2－＝1(y≠0) B．x2－＝1‎ C．x2＋＝1(y≠0) D．x2＋＝1‎ ‎[解析]　设P(x，y)，由题意，得·＝－m(m≠0)，化简可得x2＋＝1(y≠0)，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎2．(2018·重庆模拟)设A，P是椭圆＋y2＝1上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则·＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C. D．2‎ ‎[解析]　依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有·＝2，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简变形得＝－，而＝＝，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9，故选D.‎ ‎[答案]　D ‎4．(2018·唐山市高三五校联考)直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B. C．3 D. ‎[解析]　设直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，则－＝1(a>0，b>0)　①，－＝1(a>0，b>0)　②，②－①得＝，即＝，因为l与OM的斜率的乘积等于1，所以＝1，双曲线的离心率e＝ ＝，故选B.‎ ‎[答案]　B ‎5．(2018·郑州市第三次质量预测)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线 x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2－|ME|)＋(2－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4＋|MN|－|ME|－|NE|≤4，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝×|MN|×|EF|＝××2＝，故选C.‎ ‎[答案]　C ‎6．(2018·福建省高三质检)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎[解析]　设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(－1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有＝，所以|AA1|＝，故|AF|＝.又＝，即＝，亦即＝，解得|BF|＝4，故选C.‎ ‎[答案]　C 二、填空题 ‎7．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C 上，且直线PN的斜率是－，则直线PM的斜率为________．‎ ‎[解析]　设P(x0，y0)，则＋＝1，直线PM的斜率kPM＝，直线PN的斜率kPN＝，可得kPM·kPN＝＝－，故kPM＝－·＝3.‎ ‎[答案]　3‎ ‎8．(2018·郑州一模)如图，F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________________．‎ ‎[解析]　∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.‎ 由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝‎2a，∴|BF1|＝‎2a.‎ 又|BF2|－|BF1|＝‎2a，∴|BF2|＝‎4a.∴|AF2|＝‎4a，|AF1|＝‎6a.‎ 在△AF‎1F2中，由余弦定理可得 ‎|F‎1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cos60°，‎ ‎∴(‎2c)2＝(‎4a)2＋(‎6a)2－2×‎4a×‎6a×，整理得c2＝‎7a2，∴e＝＝＝.‎ ‎[答案]　 ‎9．(2018·湖南六校联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点．若S△ABF＝，且|AF|<|BF|，则＝________.‎ ‎[解析]　设直线l的方程为x＝my－1，将直线方程代入抛物线C：y2＝4x的方程得y2－4my＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0<<1，y1＋y2＝‎4m，y1·y2＝4，又S△ABF＝，所以S△BPF－S△APF＝|y2－y1|＝，因此y＋y＝10，所以＝＝，从而＝，又由抛物线的定义与相似三角形可知＝＝，∴＝＝.‎ ‎[答案]　 三、解答题 ‎10．(2018·广东七校第一次联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4.‎ ‎(1)求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．‎ ‎[解]　(1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴长的椭圆．‎ 由c＝2，a＝2，得b＝2.‎ 故动点M的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，‎ 由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.‎ Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则k>0或k<－.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 从而k1＋k2＝＋ ‎＝ ‎＝2k－(k－4) ‎＝4.‎ 当直线l的斜率不存在时，得A，‎ B，‎ 所以k1＋k2＝4.‎ 综上，恒有k1＋k2＝4.‎ ‎11．(2018·合肥一模)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎(1)求椭圆E的方程．‎ ‎(2)设直线＋＝1与y轴交于P点，过点P的直线l与椭圆E 交于两个不同点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题意，得a＝‎2c，b＝c，则椭圆E的方程为＋＝1，联立得x2－2x＋4－‎3c2＝0.‎ ‎∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，‎ ‎∴Δ＝4－4(4－‎3c2)＝0，得c2＝1，∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)得M点坐标为.‎ ‎∵直线＋＝1与y轴交于点P(0,2)，‎ ‎∴|PM|2＝.‎ 当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋)(2－)＝1，‎ 由λ|PM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝.‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，‎ ‎∴|PA||PB|＝·＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，∴λ＝.‎ ‎∵k2>，∴<λ<1.‎ 综上所述，λ的取值范围是.‎ ‎12．(2018·太原模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.‎ ‎(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；‎ ‎(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．‎ ‎[解]　(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x2＝4y.‎ 解方程组得yA＝－2，‎ ‎∴|AF|＝－1.‎ ‎(2)设M(x0，y0)，由y′＝，‎ 得切线l：y＝(x－x0)＋y0，‎ 结合x＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.‎ 由|ON|＝1得＝1，即|py0|＝＝，‎ ‎∴p＝且y－1>0.‎ ‎∴|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，‎ 当且仅当y0＝时等号成立．‎ ‎∴|MN|的最小值为2，此时p＝.‎