高考数学复习练习试题3_1变化率与导数、导数的计算 2页

第三章　导数及其应用　　　　　　　　　　　　　§3.1　变化率与导数、导数的计算 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．(2010·全国改编)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为______________．‎ ‎2．y＝x2cos x的导数为__________________．‎ ‎3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．‎ ‎4．(2010·全国Ⅱ改编)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a，b的值分别为____________．‎ ‎5．(2010·连云港模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝f(x)＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为________．‎ ‎6．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为________．‎ ‎7．(2010·常州联考)曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为________________．‎ ‎8．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ ‎9．已知直线y＝kx与曲线y＝ln x有公共点，则k的最大值为________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)求曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．‎ ‎11.(16分)(2010·无锡模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．‎ ‎12．(16分)如图所示，已知A(－1，2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a (a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.‎ ‎(1)求直线l1的方程；‎ ‎(2)求△ABD的面积S1.‎ 答案 ‎1．x－y－1＝0 2．y′＝2xcos x－x2sin x 3. 4．1,1‎ ‎5．3 6. 7．2x－y－1＝0. 8．(－∞，0) 9. ‎10．解　f′(x)＝3x2－6x＋2，设切线的斜率为k.‎ ‎(1)当切点是原点时k＝f′(0)＝2，f(0)＝0，‎ 所以所求曲线的切线方程为y＝2x.‎ ‎(2)当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，‎ 则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①‎ 又k＝＝x－3x0＋2，②‎ 由①②得x0＝，k＝＝－.‎ ‎∴所求曲线的切线方程为y＝－x.‎ ‎11．解　设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，‎ 所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，‎ 即y＝3xx－2x，‎ 又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.‎ 当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，‎ 当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，‎ 所以a＝－1或－.‎ ‎12．解　(1)由条件知点A(－1,2)为直线l1与抛物线C的切点，∵y′＝4x，‎ ‎∴直线l1的斜率k＝－4，‎ 所以直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)，‎ 即4x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)点A的坐标为(－1,2)，‎ 由条件可求得点B的坐标为(a,2a2)，‎ 点D的坐标为(a，－4a－2)，∴△ABD的面积为 S1＝×|2a2－(－4a－2)|×|－1－a|‎ ‎＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.‎