高考数学复习课时提能演练(五十四) 8_5 9页

‎ ‎ 课时提能演练(五十四)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.(2012·揭阳模拟)方程x2-4y2+3x-6y=0表示的图形是( )‎ ‎(A)一条直线 (B)两条直线 ‎(C)一个圆 (D)以上答案都不对 ‎2.设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”：x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0，则动点P(x, )的轨迹是( )‎ ‎(A)圆 (B)椭圆的一部分 ‎(C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 ‎3.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足 ‎，则动点P(x,y)的轨迹方程为( )‎ ‎(A)y2=8x (B)y2=-8x ‎(C)y2=4x (D)y2=-4x ‎4.设动点P在直线x=1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰直角△OPQ，则动点Q的轨迹是( )‎ ‎(A)圆 (B)两条平行直线 ‎(C)抛物线 (D)双曲线 ‎5.(预测题)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎6.已知点P在定圆O的圆内或圆周上，动圆C过点P与定圆O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是( )‎ ‎(A)圆或椭圆或双曲线 ‎ ‎(B)两条射线或圆或抛物线 ‎(C)两条射线或圆或椭圆 ‎ ‎(D)椭圆或双曲线或抛物线 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是___________．‎ ‎8.(2012·昆明模拟)设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为___________.‎ ‎9.(易错题)坐标平面上有两个定点A、B和动点P，如果直线PA、PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：_______________.‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.(2011·陕西高考)如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|.‎ ‎(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.‎ ‎11.(2012·漳州模拟)设点M、N分别是不等边三角形ABC的重心与外心，已知A(0,1)、B(0，－1)，且 ‎(1)求动点C的轨迹E；‎ ‎(2)若直线y=x+b与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足=0,O为坐标原点，求实数b的取值.‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB|=3，点M满足.‎ ‎(1)求动点M的轨迹E的方程；‎ ‎(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分，求实数k的取值范围.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选B.∵x2-4y2+3x-6y=0,‎ ‎∴,‎ ‎∴(x+2y+3)(x-2y)=0,‎ ‎∴x+2y+3=0或x-2y=0.‎ ‎∴原方程表示两条直线.‎ ‎2.【解析】选D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,‎ ‎∴.‎ 则P(x, ).‎ 设P(x1,y1),即,‎ 消去x得y12=4ax1(x1≥0,y1≥0),‎ 故点P的轨迹为抛物线的一部分.‎ ‎3.【解析】选B. ,‎ ‎=4(x-2),‎ ‎∴,∴y2=-8x.‎ ‎4.【解析】选B.设P(1,t)，Q(x,y)，由题意知|OP|=|OQ|,‎ ‎ ∴x2+y2=1+t2 ①‎ 又，∴x+ty=0,‎ ‎∴,y≠0. ②‎ 把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0，即y=±1.‎ 所以动点Q的轨迹是两条平行直线.‎ ‎5.【解题指南】找到动点M满足的等量关系，用定义法求解.‎ ‎【解析】选D.M为AQ垂直平分线上一点，‎ 则|AM|=|MQ|,‎ ‎∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|‎ ‎=5(5＞|AC|)，‎ 即点M的轨迹是椭圆,‎ ‎∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,‎ ‎∴点M的轨迹方程为.‎ ‎6.【解析】选C.当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆O内切或外切，O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点P在定圆O内时(非圆心)，|OC|＋|PC|=r0为定值，轨迹为椭圆；当P与O重合时，圆心轨迹为圆．‎ ‎【误区警示】本题易因讨论不全，或找错关系而出现错误.‎ ‎7.【解析】设直线AB的方程为y=x+m，代入椭圆方程，‎ 得+2mx+m2-1=0，设AB的中点坐标为M(x,y)，则 消去m得x+4y=0,‎ 又因为Δ=‎4m2‎-5(m2-1)＞0，‎ 所以,‎ 于是 .‎ 答案:x+4y=0()‎ ‎【误区警示】本题易出现x＋4y=0的错误结论，其错误原因是没有注意到动点在椭圆内.‎ ‎8.【解析】设P(x,y)，圆上的动点N(x0,y0)，则线段OP的中点坐标为 ‎()，线段MN的中点坐标为()，又因为平行四边形的对角线互相平分，所以有：可得，‎ 又因为N(x0,y0)在圆上，所以N点坐标应满足圆的方程.即有(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点()和().‎ 答案：(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点()和())‎ ‎9.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设A(-a,0)，B(a,0)，P(x,y)，则有,即mx2-y2=a‎2m,‎ 当m＜0且m≠-1时，轨迹为椭圆；当m＞0时，轨迹为双曲线；当m=-1时，轨迹为圆；当m=0时，轨迹为一直线；但不能是抛物线的方程.‎ 答案：①②④⑤‎ ‎10.【解析】(1)设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，所以xP=x,且yP=y,‎ ‎∵P在圆x2+y2=25上，∴x2+(y)2=25,整理得,‎ 即点M的轨迹C的方程是.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y=(x-3),‎ 设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程得：,化简得x2-3x-8=0,‎ ‎∴x1+x2=3,x1x2=-8,‎ ‎|x1-x2|,‎ 所以线段AB的长度是|AB|=‎ ‎，‎ 即所截线段的长度是.‎ ‎11.【解析】(1)设点C(x,y),则△ABC的重心M(,),‎ ‎∵△ABC是不等边三角形，∴x•y≠0.‎ 再设△ABC的外心N(n,0).∵已知,‎ ‎∴MN∥AB,∴n=.‎ ‎∵点N是△ABC的外心，‎ ‎∴|NA|=|NC|,即.‎ 化简整理得轨迹E的方程是+y2=1(xy≠0).‎ ‎∴动点C的轨迹E是指焦点在x轴上的一个椭圆(去掉其顶点).‎ ‎(2)将直线方程y=x+b代入轨迹E的方程+y2=1(xy≠0)，并化简，得4x2+6bx+3b2-3=0.‎ 依题意，知b≠0,b≠1,且Δ=(6b)2-16(3b2-3)>0,‎ 化简，得：b≠0,b≠1,且b2<4.‎ 设P(x1,y1)、Q(x2,y2),∵=0,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0,‎ 即x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.‎ 又∵x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴2•+b•+b2=0,‎ 化简得b2=,解得实数b的取值是b=±.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),‎ 则x02+y02=9，=(x-x0,y), =(-x,y0-y).‎ 由，得，解得,‎ 代入x02+y02=9,‎ 化简得点M的轨迹方程为.‎ ‎(2)由题意知k≠0,‎ 假设存在弦CD被直线l垂直平分，设直线CD的方程为,‎ 由，消去y化简得 ‎(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,‎ Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)‎ ‎=-16k2(k2b2-k2-4)＞0，‎ k2b2-k2-4＜0,‎ 设C(x1,y1)，D(x2,y2)，CD中点P(xp,yp),‎ 则,‎ ‎,‎ ‎，‎ 又,‎ ‎∴,得,‎ 代入k2b2-k2-4＜0，得 ‎,‎ 解得k2＜5,∴.‎ ‎∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时，k的取值范围是或.‎