高考数学复习练习第1部分 专题七 第三讲 预测演练提能 2页

‎1．(2013·陕西高考改编)设a，b∈R，|a－b|>2，求关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集．‎ 解：∵|x－a|＋|x－b|≥|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2恒成立，则解集为R.‎ ‎2．若x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的取值范围．‎ 解：依题意得＋＝(x＋2y)＝3＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即x＝－1，y＝时取等号，因此＋的取值范围是[3＋2，＋∞)．‎ ‎3．设x，y，z为正数，求证：‎ ‎2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．‎ 证明：因为x2＋y2≥2xy>0，‎ 所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，‎ 同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，‎ 三式相加即可得 ‎2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，‎ 又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)，‎ 所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)．‎ ‎4．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，‎ 所以解得a＝2.‎ ‎(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝ 所以当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；‎ 当x>2时，g(x)>5.‎ 综上可得，g(x)的最小值为5.‎ 从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．‎ ‎5．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－3时，‎ f(x)＝ 当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；‎ 当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；‎ 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．‎ ‎(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|‎ ‎⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.‎ 故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．‎ ‎6．(2013·呼和浩特模拟)设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤8；‎ ‎(2)若f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，|x|＋2|x－1|≤8，‎ ‎∵f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ ‎∴或或 解得1≤x≤或0