全国高考理科数学试题及答案全国1卷1 12页

欢迎下载！！！ 2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 一、选择题 (1)设集合 A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 U=A B，则集合 （A B）中的元素共有 （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 （2）已知 =2+I,则复数 z= （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式 ＜1 的解集为 （A）｛x (B) （C） (D) (4)设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于 （A） （B）2 （C） （D） (5) 甲组有 5 名同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学， 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种 （6）设 、 、 是单位向量，且 · ＝0，则 的最小值为 （A） （B） （C） (D) （7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异 面直线 与 所成的角的余弦值为 （A） （B） （C） (D) （8）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为 （A） （B） （C） (D) (9) 已知直线 y=x+1 与曲线 相切，则α的值为 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 （10）已知二面角α-l-β为 600 ，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 ，Q 到α的距离为  [u  1 i Z ＋ 1 1 X X + − } { }0 1 1x x x〈 〈 〉 { }0 1x x〈 〈 { }1 0x x− 〈 〈 { }0x x〈 2 2 2 2 1x y a b − = 3 5 6 a b c a b ( ) ( )a c b c− • − 2− 2 2− 1− 1 2− 1 1 1ABC A B C− 1A ABC BC AB 1CC 3 4 5 4 7 4 3 4 ( )cos 2y x φ＝3 ＋ 4 3 π    ，0 π 6 π 4 π 3 π 2 π y ln( )x a= + 3 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) (B)2 (C) (D)4 （11）函数 的定义域为 R，若 与 都是奇函数，则 (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 （ 12 ） 已 知 椭 圆 C: 的 又 焦 点 为 F， 右 准 线 为 L ，点 , 线 段 AF 交 C 与 点 B 。若 ,则 = (A) (B)2 (C) (D)3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效） (13) 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 . (14)设等差数列 的前 n 项和为 .若 =72,则 = . (15)直三棱柱 - 各顶点都在同一球面上.若 ∠ = ，则此球的表 面积等于 . (16)若 ,则函数 的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 在 ABC 中 ， 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c ， 已 知 ， 且 ，求 b. 18．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SD⊥底面 ABCD，AD= ，DC=SD=2.点 M 在侧棱 SC 上，∠ 2 3 2 2 3 ( )f x ( 1)f x + ( 1)f x − ( )f x ( )f x ( ) ( 2)f x f x= + ( 3)f x + 2 2 12 x y+ = A L∈ 3FA FB=  AF 2 3 10( )x y− 7 3x y 3 7x y { }na ns 9s 2 4 9a a a+ + ABC 1 1 1A B C 1 2,AB AC AA= = = BAC 120 4 2 π π＜X＜ 3tan 2 tany x x= ∆ 2 2 2a c b− = sin cos 3cos sinA C A C= 2 ABM=60 .(Ⅰ)证明：M 是侧棱 SC 的中点； （Ⅱ）求二面角 S—AM—B 的大小。 (19)(本小题满分 12 分) 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲 获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。 （20）（本小题满分 12 分） 在数列 中， . 设 ，求数列 的通项公式； 求数列 的前 项和 . 0 ε ε { }na 1 1 1 11 1 2n n na a an     ’ ＋ ’ ＋＝ ＝ ＋ ＋ ( )Ι n n ab n ＝ }{ nb ( )ΙΙ { }na n ns 21．（本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 与圆 相交于 四个点。 （I）求 的取值范围： (II)当四边形 的面积最大时，求对角线 的交点 的坐标。 22．（本小题满分 12 分） 设函数 有两个极值点 （Ⅰ）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域； (Ⅱ)证明： 2:E y x= 2 2 2:( 4)M x y r− + = (r＞0） A B C D、 、 、 r ABCD A B C D、 、 、 p 3 2( ) 3 3f x x bx cx= + + [ ] [ ]1 2 21 1,2 .x x x∈ − ∈， ，0 ，且 110 2 − 2≤f ( x ) ≤- 2009 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案 一、选择题 (1)解： ， 故选 A。 （2）解： 故选 B。 (3) 解：验 x=-1 即可。 (4) 解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得: . (5) 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法 (2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有 345 种选法.选 D （6）解: 是单位向量 故选 D. （7）解：设 的中点为 D，连结 D，AD，易知 即为异面 直 线 与 所 成 的 角 , 由 三 角 余 弦 定 理 ， 易 知 .故选 D （8）解: 函数 的图像关于点 中心对称 由此易得 .故选 A (9) 解:设切点 ，则 , 又 .故答案选 B （10）解:如图分别作 ，连 {3,4,5,7,8,9}A B = {4,7,9} ( ) {3,5,8}UA B C A B= ∴ =  (1 ) (2 ) 1 3 , 1 3z i i i z i= + ⋅ + = + ∴ = − 0 0( , )P x y 0 ' 0| 2x xy x= = 0 0 0 2y xx = 2 0 0 1y x= + 2 2 0 1, 2, 1 ( ) 5b bx ea a = ∴ = = + = 1 1 2 5 3 6 225C C C⋅ ⋅ = 2 1 1 5 6 2 120C C C⋅ ⋅ = , ,a b c    ( ) ( ) 2 ( )a c b c a b a b c c∴ − • − = • − + • +         1 | | | | 1 2 cos , 1 2a b c a b c= − + • = − < + >≥ −      BC 1A 1A ABθ = ∠ AB 1CC 1 1 3coc s 4os cos AD ADA AD DAB A A AB θ = ∠ ∠⋅ = ⋅ =  ( )cos 2y x φ＝3 ＋ 4 3 π    ，0 42 3 2k π πφ π∴ ⋅ + = + 13 ( )6k k Z πφ π∴ = − ∈ min| | 6 πφ = 0 0( , )P x y 0 0 0 0ln1, ( )y x ay x= + = + 0 ' 0 1| 1x xy x a= = =+ 0 0 01 0, 1 2x a y x a∴ + = ∴ = = − ∴ = , , ,QA A AC l C PB Bα β⊥ ⊥ ⊥于 于 于 PD l D⊥ 于 , 60 ,CQ BD ACQ PBD∠ = ∠ = °则 B C B C A1 1 1 A D Q A P B C D ， 又 当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选 C。 （11）解: 与 都是奇函数， ， 函 数 关 于 点 ， 及 点 对 称 ， 函 数 是 周 期 的 周 期 函 数 . ， ，即 是奇函数。故选 D 12.解:过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 ,故 . 又由椭圆的第二定义,得 .故选 A 二、填空题： 13.解: 14.解: 是等差数列,由 ,得 . 15.解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 . 16.解:令 , 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 解 法 一 ： 在 中 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : 化简并整理得： .又由已知 .解 得 . 2 3, 3AQ BP= = 2AC PD∴ = = 2 2 212 2 3PQ AQ AP AP= + = + ≥ 0AP = A P点 与点  ( 1)f x + ( 1)f x − ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)f x f x f x f x∴ − + = − + − − = − − ∴ ( )f x (1,0) ( 1,0)− ( )f x 2[1 ( 1)] 4T = − − = ( 1 4) ( 1 4)f x f x∴ − − + = − − + ( 3) ( 3)f x f x− + = − + ( 3)f x + BM l⊥ l 3FA FB=  2| | 3BM = 2 2 2| | 2 3 3BF = ⋅ = | | 2AF∴ = 3 7 3 10 10 10( ) 2 240C C C− + − = − = − { }na 9 72S = 59 9 ,S a∴ = 5 8a = ∴ 2 4 9 2 9 4 5 6 4 5( ) ( ) 3 24a a a a a a a a a a+ + = + + = + + = = ABC∆ 2AB AC= = 120BAC∠ = ° 2 3BC = ABC∆ O′ O RT OBO′∆ 5R = 24 20Rπ π= tan ,x t= 14 2x t π π< < ∴ > 4 4 3 2 2 2 4 2 2 2tan 2 2 2 2tan 2 tan 81 1 1 1 1 11 tan 1 ( )2 4 4 x ty x x x t t t t ∴ = = = = = ≤ = −− − − − − − ABC∆ sin cos 3cos sin ,A C A C= 2 2 2 2 2 2 3 ,2 2 a b c b c aa cab bc + − + −• = • 2 2 22( )a c b− = 2 2 2a c b− = 24b b∴ = 4 0(b b= =或 舍） 解法二: 由余弦定理得: . 又 , 。 所以 …………………………………① 又 ， ， 即 由正弦定理得 ， 故 ………………………② 由①，②解得 。 18． 解法一： （I）作 ∥ 交 于点 E，则 ∥ ， 平面 SAD，连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形 作 ，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设 ，则 ， 由 解得 ，即 ，从而 ，所以 为侧棱 的中点 （Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形， 又由（Ⅰ）知 M 为 SC 中点 ，故 取 AM 中点 G，连结 BG，取 SA 中点 H，连结 GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角 连接 ，在 中， 2 2 2 2 cosa c b bc A− = − 2 2 2a c b− = 0b ≠ 2 cos 2b c A= + sin cos 3cos sinA C A C= sin cos cos sin 4cos sinA C A C A C∴ + = sin( ) 4cos sinA C A C+ = sin 4cos sinB A C= sin sinbB Cc = 4 cosb c A= 4b = ME CD SD ME AB ME ⊥ MF AB⊥ ME x= SE x= 2 2 2(2 ) 2AE ED AD x= + = − + 2(2 ) 2, 2MF AE x FB x= = − + = − 2tan 60 , (2 ) 2 3(2 )MF FB x x= • − + = −。 得 1x = 1ME = 1 2ME DC= M SC 2 2 2MB BC MC= + = 60 , 2ABM AB∠ = = ABM∆ 2, 6, 2SM SA AM= = = 2 2 2 , 90SA SM AM SMA= + ∠ =  ,BG AM GH AM⊥ ⊥ BGH∠ S AM B− − BH BGH∆ 所以 二面角 的大小为 解法二: 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz 设 ，则 （Ⅰ）设 ,则 又 故 即 解得 ，即 所以 M 为侧棱 SC 的中点 （II）由 ，得 AM 的中点 又 所以 因此 等于二面角 的平面角 所以二面角 的大小为 2 23 1 2 223, ,2 2 2 2BG AM GH SM BH AB AH= = = = = + = 2 2 2 6cos 2 3 BG GH BHBGH BG GH + −∠ = = −• • S AM B− − 6arccos( )3 − ( 2,0,0)A ( 2,2,0), (0,2,0), (0,0,2)B C S ( 0)SM MCλ λ= 〉 2 2 2 2(0, , ), ( 2, , )1 1 1 1M MB λ λ λ λ λ −=+ + + + (0,2,0), , 60AB MB AB= −  | | | | cos60MB AB MB AB• = •  2 2 24 2 2( 2) ( ) ( )1 1 1λ λ λ −= + ++ + + 1λ = SM MC= (0,1,1), ( 2,0,0)M A 2 1 1( , , )2 2 2G 2 3 1( , , ), (0, 1,1), ( 2,1,1)2 2 2GB MS AM= − = − = − 0, 0GB AM MS AM• = • = ,GB AM MS AM⊥ ⊥ ,GB MS S AM B− − 6cos , 3| | | | GB MSGB MS GB MS •= = − • S AM B− − 6arccos( )3 − 19．解：记 表示事件：第 i 局甲获胜，i=3,4,5 表示事件：第 j 局乙获胜，j=3,4 （Ⅰ）记 B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜 2 局，从 而 由于各局比赛结果相互独立，故 = =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648 （II） 的可能取值为 2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以 = = =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52 =1.0.52=0.48 的分布列为 2 3 P 0.52 0.48 =2×0.52+3×0.48 =2.48 iA jB 3 4 3 4 5 3 4 5B A A B A A A B A= • + • • + • • 3 4 3 4 5 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )P B P A A P B A A P A B A= • + • • + • • 3 4 3 4 5 3 4 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P B P A P A P A P B P A+ + ξ 3 4 3 4( 2) ( )P P A A B Bξ = = • + • 3 4 3 4( ) ( )P A A P B B• + • 3 4 3 4( ) ( ) ( ) ( )P A P A P B P B• + • ( 3) 1 ( 2)P Pξ ξ= = − = ξ ξ 2 ( 2) 3 ( 3)E P Pξ ξ ξ= × = + × = 20． 解：（I）由已知得 ，且 即 从而 …… 于是 = 又 故所求的通项公式 （II）由（I）知 , = 而 ,又 是一个典型的错位相减法模型， 易得 = 21．（I）将抛物线 与圆 的方程联 立，消去 ，整理得 ．．．．．．．．．．．．．（＊） 抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要条件是： 方程（＊）有两个不相等的正根即可. 由此得 解得 1 1 1b a= = 1 1 1 2 n n n a a n n + = ++ 1 1 2n n nb b+ = + 2 1 1 2b b= + 3 2 2 1 2b b= + 1 1 1 ( 2)2n n nb b n− −= + ≥ 1 2 1 1 1 1......2 2 2n nb b −= + + + + 1 12 ( 2)2n n−− ≥ 1 1b = 1 12 2n nb −= − 1 1 1(2 ) 22 2n n n na n n− −= − = − ∴ nS 1 1 (2 )2 n k k kk − = −∑ 1 1 1 (2 ) 2 n n k k k kk − = = = −∑ ∑ 1 (2 ) ( 1) n k k n n = = +∑ 1 1 2 n k k k − = ∑ 1 1 1 242 2 n k n k k n − − = += −∑ ∴ nS ( 1)n n + 1 2 42n n − ++ − 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > 2y 2 27 16 0x x r− + − = 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > A B C D 2 2 1 2 2 1 2 ( 7) 4(16 ) 0 7 0 16 0 r x x x x r ∆ = − − − >  + = >  = − > 215 164 r< < 又 所以 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以． （II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本 小题是一个较好的切入点。 设 与 的四个交点的坐标分别为： 、 、 、 。 则直线 的方程分别为 解得点 P 的坐标为 设 ，由 及（I）知 由于四边形 为等腰梯形，因而其面积 则 将 代入上式，并令 ，得 求导数 令 ，解得 （舍去） 当 时 ， ； 时 ， ； 时， 故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 的 面积最大，故所求的点 P 的坐标为 22.解（I） 依 题 意 知 ， 方 程 有 两 个 根 ， 等价于 0r > 15( ,4)2r ∈ E M 1 1( , )A x x 1 1( , )B x x− 2 2( , )C x x− 2 2( , )D x x AC BD、 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 ( ), ( )x x x xy x x x y x x xx x x x − − +− = • − + = • −− − 1 2( ,0)x x 1 2t x x= 216t r= − 70 2t< < ABCD 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − + = − + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ] ( 2 )S x x x x x x x x= + − • + + 1 2 1 27,x x x x t+ = = 2( )f t S= 2 7( ) (7 2 ) (7 2 )(0 )2f t t t t= + • − < < ' ( ) 2(7 2 ) (6 7)f t t t= − + • − ' ( ) 0f t = 7 7,6 2t t= = − 70 6t< < ' ( ) 0f t > 7 6t = ' ( ) 0f t = 7 7 6 2t< < ' ( ) 0f t < 7 6t = ( )f t ABCD 7( ,0)6 ( ) 23 6 3f x x bx c′ = + + ( ) 0f x′ = 1 2x x、 1 [ 1 0],x ∈ −且 ， 2 [1,2].x ∈ ( )1 0f ′ − ≥ ， 由此得 b、c 满足的约束条件为 满足这些条件的点 的区域为图中阴影部分， (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用 消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借 助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知 ，故 于是 由于 ，而由（Ⅰ）知 ，故 又由（Ⅰ）知 所以 ( )0 0f ′ ≤ ， ( ) ( )1 0 2 0f f′ ′≤ ≥， 2 1 0 2 1 4 4 c b c c b c b ≥ −  ≤ ≤ − −  ≥ − − ( ),b c ( ) 3 2 2 2 2 23 3f x x bx cx= + + b c 2x [ 2,0]c∈ − ( ) 2 2 2 23 6 3 0f x x bx c′ = + + = 2 2 2 1 1 2 2bx x c= − − ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 33 3 2 2 cf x x bx cx x x= + + = − + 2 [1,2]x ∈ 0c ≤ 2 1 34 3 ( ) 2 2c f x c− + ≤ ≤ − + [ 2,0]c∈ − 2 110 ( ) 2f x− ≤ ≤ −