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- 2021-04-23 发布
二、数形结合思想
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想
借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想
数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合
典例1 设M＝{(x，y)|y＝，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－)2＝a2，a>0}且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．
分析 根据点集M，N中方程的特点，联想两个方程所表示的曲线，以形助数．
解 如图，集合M表示以O(0,0)为圆心，r1＝a为半径的上半圆，集合N表示以O′(1，)为圆心，r2＝a为半径的圆．
∵M∩N≠∅，∴半圆O和圆O′有公共点．
当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．
∵OO′＝2，∴外切时，a＋a＝2，a＝＝2－2.
内切时，a－a＝2，a＝2＋2.
∴a的最大值为2＋2，a的最小值为2－2.
点评 本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．
典例2 已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
分析 建立坐标系，用轨迹法．
解析 设c＝(x，y)，则
2a－c＝(2－x,2－y)，3b－c＝(－3－x,3－y)，
由(2a－c)·(3b－c)＝0，有
(2－x)(－3－x)＋(2－y)(3－y)＝0，
化简整理得2＋2＝，
即向量c的坐标(x，y)在以M为圆心，r＝为半径的圆上．
从而求|c|的最大值，即圆2＋2＝上的点到坐标原点距离的最大值，
又坐标原点在此圆上，所以|c|的最大值为2r＝.
答案
点评 设点研究得出点的轨迹方程，从几何角度得到点在圆上，再寻找最值，体现了数形结合思想的典型运用．
典例3 若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．
分析 这个问题从表面上看是方程与不等式的问题，如果用求根公式得出小根在0和1之间，大根在1和2之间来解不等式组是很麻烦的，并且不易解出．如果我们根据题意，通过满足条件的函数图象，由根的分布情况分析函数值的大小问题，解不等式组得到相应的实数k的取值范围．
解 设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，结合草图可知，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，
那么
即
解得
即