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- 2021-04-22 发布
【2019年高考考纲解读】
1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.
2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大．
【重点、难点剖析】
一、 范围、最值问题
圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．
二、定点、定值问题
1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
(1)求E的方程；
(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．
【解析】解法一 (1)设点M(x，y)，由2＝，得A(x,2y)，
由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，
即动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，
因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0,1)，
所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－，
|BP|＝|x1－x2|＝.
由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，
记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k，
则|BT|＝，
故＝，所以－＝0，
即(1＋4k2)＝(1＋4k)，
所以(k2－k)(1＋k2＋k－8k2k)＝0，
由于k1≠k，因此1＋k2＋k－8k2k＝0，
故k2＝＝＋.
因为k2＞0，所以8k－1＞0，所以k2＝＋＞.
又k＞0，所以k＞.
又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，
所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠，
所以k∈∪.
根据椭圆的对称性，k∈∪也满足题意．
综上所述，k的取值范围为∪∪∪.
解法二 (1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1,0)．
因为2＝，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以解得
因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，
所以动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，E的方程为＋y2＝1，所以B的坐标为(0,1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
设B(x1，y1)，P(x2，y2)因此x1＝0，x2＝－，
|BP|＝|x1－x2|＝.
则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝，
由得3y2＋2y－5＋＝0(－1＜y＜1)． (*)
依题意，得(*)式在y∈(－1,1)上有两个不同的实数解．
设f(x)＝3x2＋2x－5＋(－1＜x＜1)，
易得函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，
要使函数f(x)的图象在(－1,1)内与x轴有两个不同的交点，
则
整理得
即所以
得k∈∪∪∪
，
所以k的取值范围为∪∪
∪.
【方法技巧】
1．解决圆锥曲线中范围问题的方法
一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化．
由∠MQO＝∠NQO，得直线MQ与NQ的斜率之和为零，易知x1或x2等于0时，不满足题意，故＋＝＋＝＝0，
即2kx1x2＋(x1＋x2)＝2k·＋·＝＝0，当k≠0时，m＝6，所以存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO；当k＝0时，定点(0,6)也符合题意．
易知当直线MN的斜率不存在时，定点(0,6)也符合题意．
综上，存在定点(0,6)，使得∠MQO＝∠NQO.