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- 2021-04-20 发布
8.推理与证明、复数、算法
1．归纳推理和类比推理
共同点：两种推理的结论都有待于证明．
不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
[问题1] (1)若数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)＝________.
(2)若数列{an}是等差数列，bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为__________________．
答案 (1) (2)dn＝
2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．
[问题2] 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．
答案 三角形三个内角都大于60°
3．复数的概念
对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．
[问题3] 若复数z＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为________．
答案 －2
4．复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0；(4)设ω＝－±i，则ω0＝1；ω2＝；ω3＝1；1＋ω＋ω2＝0.
[问题4] 已知复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________.
答案 1
5．(1)循环结构中几个常用变量
①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.
②累加变量：用来计算数据之和，如s＝s＋i.
③累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.
(2)处理循环结构的框图问题，关键是认清终止循环结构的条件及循环次数．
[问题5] 执行如图的流程图，则输出S的值为________．
答案 2
解析 由算法知，记第k次计算结果为Sk，则有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1，
因此{Sk}是周期数列，周期为3，输出结果为S2 016＝S3＝2.
易错点1 复数概念不清
例1 设复数z1＝1－i，z2＝a＋2i，若的虚部是实部的2倍，则实数a的值为________．
易错分析 本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算时，错用运算法则导致失误．
解析 ＝＝＝，
故该复数的实部是，虚部是.
由题意，知＝2×，
解得a＝6.
答案 6
易错点2 循环结束条件判断不准
例2 如图所示是一算法的流程图，若此程序的运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是______________．
易错分析 本题可以按照开始的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的就是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出结果为720.
解析 第一次运行结果为S＝10，k＝9，第二次运行结果为S＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8或k>7.
答案 k≥8或k>7
易错点3 类比不当
例3 已知圆的面积S(R)＝πR2，显然S′(R)＝2πR表示的是圆的周长：C＝2πR.把该结论类比到空间，写出球中的类似结论： __________________________________________.
易错分析 该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论．
解析 平面图形的面积应该和空间几何体的体积问题类比；平面图形的周长应和空间几何体的表面积类比．所以半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，其导函数V′(R)＝×3πR2＝4πR2，显然表示的是球的表面积．
所以结论是：半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，
其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2.
答案 半径为R的球的体积为V(R)＝πR3，其导函数表示的是球的表面积：S＝4πR2
易错点4 循环次数把握不准
例4 执行下边的流程图，若P＝0.8，则输出的n＝______.
易错分析 容易陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错．
解析 顺着框图箭头的走向列举出有关的输出数据，有
S：0＋＝，＋＝，＋＝＝0.875.
n：2,3,4.
“0.875<0.8”判断为“N”，输出n＝4.
答案 4
1．(2017·江苏江阴质检)若(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是________．
答案 －1
解析 ∵＝＝是实数，
∴a＝－1.
2．(2017·扬中、六合等七校联考)已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在第________象限．
答案 二
解析 z1－z2＝(1－3)＋(3－1)i＝－2＋2i，
从而z1－z2在第二象限．
3．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)．请推测a＝________，b＝________.
答案 6 35
解析
由前面三个等式，发现被开方数的整数与分数的关系：整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 中，a＝6，b＝62－1＝35.
4．如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________.
答案
解析 设B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)，
在“黄金双曲线”中，
∵⊥，∴·＝0，∴b2＝ac，
而b2＝c2－a2，∴ac＝c2－a2，
等号两端同除以a2，得e＝.
5．已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．
答案 2x－y－＝0
解析 将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，
则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，
由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，
因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.
6．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是________．
答案 5
解析 当k＝1，S＝1时，经过第一次循环得S＝2＋1＝3<80，k＝2；经过第二次循环得S＝2×3＋2＝8<80，k＝3；经过第三次循环得S＝2×8＋3＝19<80，k＝4，经过第四次循环得S＝2×19＋4＝42<80，k＝5；经过第五次循环得S＝2×42＋5＝89>80，退出循环，此时k＝5.
7．(2017·江苏江阴二中质检)如图是一个算法的伪代码，则输出的i值为________．
S←9
i←1
While S≥0
S←S－i
i←i＋1
End While
Print i
答案 5
解析 由算法语句知，算法的功能是求满足S＝9－(1＋2＋3＋…＋i)＜0的最小正整数i＋1的值，
∵S＝9－(1＋2＋3)＝3＞0，S＝9－(1＋2＋3＋4)＝－1＜0，∴输出的i值为5.
8．执行如图所示的流程图，输出的结果为________．
答案
解析 该流程图的输出结果为式子S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin 的值，
由于sin ＝，sin ＝，sin ＝0，sin ＝－，sin ＝－，sin ＝0，
所以sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＋sin ＝0，
因此S＝sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin ＋sin ＝0×335＋＋＝.
9．若数列{an}中，a1＝1，a2＝3＋5，a3＝7＋9＋11，a4＝13＋15＋17＋19，…，则a10＝________.
答案 1 000
解析 前9项共使用了1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，a10由第46个到第55个，共10个奇数的和组成，即a10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝＝1 000.
10．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(n)＝________.(答案用n表示)
答案
解析 由图形观察可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20，….故下一堆的个数是上一堆个数加上其第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋.
将以上n－1个式子相加，可得
f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋
＝[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]
＝
＝.