2020_2021学年新教材高中数学第九章统计9 44页

9 . 2 . 1 　 总体取值规律的估计 　 9 . 2 . 2 　 总体百分位数的估计 课标阐释 思维脉络 1 . 通过具体实例 , 理解用样本估计总体的思想方法 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握频率分布直方图的绘制和其中相关的运算 . ( 直观想象、数学运算 ) 3 . 理解频率分布表、折线图、条形图、扇形图的作用和识读 . ( 直观想象 ) 4 . 理解第 p 百分位数的定义及作用 . ( 数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 与传统相机比较 , 在数码相机中 , 有一种十分实用的功能 , 这就是直方图显示功能 . 直方图就是通过在 LCD 上显示出来的曝光量柱形图来确定照片曝光量大小的工具 , 通过直方图的横轴和纵轴我们可以直观地看出拍摄的照片的曝光情况 , 在拍摄时能给摄影者带来很大的方便 . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、频率分布表 为了能直观地显示样本的频率分布情况 , 通常将分组、频数累计、频数、频率列在一张表中 , 这张表叫做频率分布表 . 名师点析 列出一组样本数据的频率分布表的基本步骤 第一步 , 求极差 . 第二步 , 决定组距与组数 . 第三步 , 将数据分组 . 第四步 , 列频率分布表 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 什么叫频数与频率 ? 提示 : 将一批数据按要求分为若干个组 , 各组内数据的个数叫做该组的频数 . 每组数据的频数除以样本容量得到的商叫做该组数据的频率 . 频率反映各个小组数据在样本中所占比例的大小 . 激趣诱思 知识点拨 知识点二、频率分布直方图 为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来 , 常画出频率分布直方图 . 画图时 , 应以横轴表示分组、纵轴表示各 组 , 以各个组距为底 , 以 为 高 , 画成小长方形 , 这样得到的直方图就是频率分布直方图 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 画频率分布直方图的 步骤 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 在样本频率分布直方图中 , 某个小长方形的面积是其他小长方形的面积之和 的 , 已知样本量是 80, 则该组的频数为 ( 　　 ) A.20 　　　　　　 B.16 C.30 D.35 解析 : 设该组的频数为 x , 则其他组的频数之和为 4 x , 由样本量是 80, 得 x+ 4 x= 80, 解得 x= 16, 即该组的频数为 16, 故选 B . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ① 频率分布直方图中的纵轴表示频率 . ( 　　 ) ② 频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率 . ( 　　 ) ③ 频率分布直方图中所有小长方形的面积和等于 1 . ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ②√ 　 ③√ 激趣诱思 知识点拨 知识点三、第 p 百分位数 一般地 , 一组数据的第 p 百分位数是这样一个值 , 它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于或等于这个值 , 且至少有 (100 -p )% 的数据大于或等于这个值 . 可以通过下面的步骤计算一组 n 个数据的第 p 百分位数 : 第 1 步 , 按从小到大排列原始数据 . 第 2 步 , 计算 i= n × p % . 第 3 步 , 若 i 不是整数 , 而大于 i 的比邻整数为 j , 则第 p 百分位数为第 j 项数据 ; 若 i 是整数 , 则第 p 百分位数为第 i 项与第 ( i+ 1) 项数据的平均数 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 数据 1,3,8,5 的中位数是 　　　 , 第 50 百分位数是 　　　 , 第 75 百分位数是 　　　 .  答案 : 4 　 4 　 6 . 5 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内打“ √ ” , 错误的打“ ×” . ① 任何一组数据的第 50 百分位数与中位数的值是相同的 . ( 　　 ) ② 第 25 百分位数也可以称为第一四分位数或上四分位数 . ( 　　 ) 答案 : ① √ 　 ② × 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 频率分布直方图的绘制 例 1 某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况 , 随机地取出了 100 名考生的数学成绩 , 数据如下 :( 单位 : 分 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1) 列出频率分布表 ; (2) 画出频率分布直方图和折线图 ; (3) 估计该省考生数学成绩在 [100,120) 分之间的比例 . 分析 先求极差 . 根据极差与数据个数确定组距、组数 , 然后按频率分布直方图的画法绘制图形 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 100 个数据中 , 最大值为 135, 最小值为 80, 极差为 135 - 80 = 55 . 取组距为 5, 则组数 为 = 11 . (1) 频率分布表如下 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 注 : 表中加上 “ 频率 / 组距 ” 一列 , 这是为画频率分布直方图准备的 , 因为它是频率分布直方图的纵坐标 . (2) 根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图 , 如图所示 . (3) 从频率分布表中可知 , 这 100 名考生的数学成绩在 [100,120) 分之间的频率为 0 . 24 + 0 . 15 + 0 . 12 + 0 . 09 = 0 . 60, 据此估计该省考生数学成绩在 [100,120) 分之间的比例为 60% . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 绘制频率分布直方图的关注点 (1) 在列频率分布表时 , 极差、组距、组数有如下关系 : (2) 组距和组数的确定没有固定的标准 , 将数据分组时 , 组数力求合适 , 使数据的分布规律能较清楚地呈现出来 , 组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况 , 若样本容量不超过 100, 按照数据的多少常分为 5 ~ 12 组 , 一般样本容量越大 , 所分组数越多 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 为了检测某种产品的质量 , 抽取了一个容量为 100 的样本 , 数据的分组情况与频数如下 : [10 . 75,10 . 85),3;[10 . 85,10 . 95),9;[10 . 95,11 . 05),13;[11 . 05,11 . 15),16;[11 . 15,11 . 25),26;[11 . 25,11 . 35),20;[11 . 35,11 . 45),7;[11 . 45,11 . 55),4;[11 . 55,11 . 65],2 . (1) 列出频率分布表 ; (2) 画出频率分布直方图以及频率分布折线图 ; (3) 根据上述图表 , 估计数据落在 [10 . 95,11 . 35) 范围内的可能性是百分之几 ; (4) 估计数据小于 11 . 20 的可能性是百分之几 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 频率分布表如下 : 分组 频数 频率 [10 . 75,10 . 85) 3 0 . 03 [10 . 85,10 . 95) 9 0 . 09 [10 . 95,11 . 05) 13 0 . 13 [11 . 05,11 . 15) 16 0 . 16 [11 . 15,11 . 25) 26 0 . 26 [11 . 25,11 . 35) 20 0 . 20 [11 . 35,11 . 45) 7 0 . 07 [11 . 45,11 . 55) 4 0 . 04 [11 . 55,11 . 65] 2 0 . 02 合计 100 1 . 00 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 频率分布直方图及频率分布折线图如图 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (3) 由上述图表可知数据落在 [10 . 95,11 . 35) 范围内的频率为 0 . 13 + 0 . 16 + 0 . 26 + 0 . 20 = 0 . 75 = 75%, 即数据落在 [10 . 95,11 . 35) 范围内的可能性是 75% . (4) 数据小于 11 . 20 的可能性即数据小于 11 . 20 的频率 , 设为 x , 则 ( x- 0 . 41) ÷ (11 . 20 - 11 . 15) = (0 . 67 - 0 . 41) ÷ (11 . 25 - 11 . 15), 所以 x- 0 . 41 = 0 . 13, 即 x= 0 . 54, 从而估计数据小于 11 . 20 的可能性是 54% . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 对折线图、扇形图、条形图的识读 例 2 某中学初中部共有 120 名教师 , 高中部共有 150 名教师 , 其性别比例如图所示 , 则该校女教师的人数为 ( 　　 ) A.128 B.144 C.174 D.167 分析 根据女教师的百分比 , 分别计算初中部和高中部女教师的人数即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 初中部女教师的人数为 120 × 70% = 84, 高中部女教师的人数为 150 × (1 - 60%) = 150 × 40% = 60, 则该校女教师的人数为 84 + 60 = 144 . 答案 : B 反思感悟 对于折线图、扇形图、条形图一定要注意每种图示的作用和含义 , 其次要看清所标记数据和单位 , 最后要抓住各种图示中所体现的信息 “ 密码 ” . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 调查机构对某高科技行业进行调查统计 , 得到该行业从业者学历分布扇形图、从事该行业岗位分布条形图 , 如图所示 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 给出下列三种说法 : ① 该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上 ; ② 该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 30%; ③ 该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生 . 其中正确的个数为 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 : 在 ① 中 , 由该行业从业者学历分布扇形图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占 55%, 故 ① 正确 ; 在 ② 中 , 由从事该行业岗位分布条形图知该高科技行业中从事技术岗位的人数占 39 . 6%, 超过总人数的 30%, 故 ② 正确 ; 在 ③ 中 , 由题中的两个图无法得到从事运营岗位的人员主要是本科生 , 故 ③ 错误 . 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 频率分布直方图中的相关计算问题 例 3 在某次数学测验后 , 将参加考试的 500 名学生的数学成绩制成频率分布直方图 ( 如图 ), 则在该次测验中成绩不低于 100 分的学生人数是 ( 　　 ) A.210 B.205 C.200 D.195 分析 由频率分布直方图先求出在该次测验中成绩不低于 100 分的学生的频率 , 由此能求出在该次测验中成绩不低于 100 分的学生人数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 由频率分布直方图 , 得在该次测验中成绩不低于 100 分的学生的频率为 1 - (0 . 012 + 0 . 018 + 0 . 030) × 10 = 0 . 4, ∴ 在该次测验中成绩不低于 100 分的学生人数为 500 × 0 . 4 = 200 . 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 频率分布直方图中相关计算的求解策略 (1) 因为小长方形的面积 = 组距 × = 频率 , 所以各小长方形的面积表示相应各组的频率 . 这样 , 频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小 . (2) 在频率分布直方图中 , 各小长方形的面积之和等于 1 . ( 4) 在频率分布直方图中 , 各长方形的面积之比等于频率之比 , 各长方形的高度之比也等于频率之比 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 在例 3 中若将 “ 不低于 100 分 ” 改为 “ 不高于 120 分 ” 结论又如何 ? 解 : 由图可知成绩不高于 120 分的频率为 1 - 0 . 006 × 10 = 1 - 0 . 06 = 0 . 94 . ∴ 满足要求的学生人数为 500 × 0 . 94 = 470 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图 , 且在 [15,18) 内频数为 8 . (1) 求样本在 [15,18) 内的频率 ; (2) 求样本量 ; (3) 若在 [12,15) 内的小矩形面积为 0 . 06, 求在 [18,33) 内的频数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 由样本频率分布直方图可知组距为 3 . ( 3) 在 [12,15) 内的小矩形面积为 0 . 06, 故样本在 [12,15) 内的频率为 0 . 06, 故样本在 [15,33) 内的频数为 50 × (1 - 0 . 06) = 47 . 又因为在 [15,18) 内的频数为 8, 故在 [18,33) 内的频数为 47 - 8 = 39 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 总体百分位数的应用 例 4 有一样本的数据为 3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925, 求这组数据的第 50 百分位数和第 75 百分位数 . 解 : (1) ∵ i= 50% × 11 = 5 . 5, ∴ 第 50 百分位数是第 6 项的值 3520 . (2) ∵ i= 0 . 75 × 11 = = 8 . 25, ∴ 第 75 百分位数是第 9 项的值 , 即 3650 . 所以第 50 百分位数和第 75 百分位数分别为 3520,3650 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤 第 1 步 , 按从小到大排列原始数据 . 第 2 步 , 计算 i=n × p % . 第 3 步 , 若 i 不是整数 , 而大于 i 的比邻整数为 j , 则第 p 百分位数为第 j 项数据 ; 若 i 是整数 , 则第 p 百分位数为第 i 项与第 ( i+ 1) 项数据的平均数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 为了了解一片经济林的生长情况 , 随机抽测了其中 60 株树木的底部周长 ( 单位 :cm), 所得数据均在区间 [80,130] 上 , 其频率分布直方图如图所示 , 你能估计一下 60 株树木的第 50 百分位数和第 75 百分位数吗 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 由题意知分别落在各区间上的频数为 在 [80,90) 上有 60 × 0 . 15 = 9, 在 [90,100) 上有 60 × 0 . 25 = 15, 在 [100,110) 上有 60 × 0 . 3 = 18, 在 [110,120) 上有 60 × 0 . 2 = 12, 在 [120,130] 上有 60 × 0 . 1 = 6 . 从以上数据可知第 50 百分位数一定落在区间 [100,110) 上 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 频率分布直方图的实际应用 典例 某校在 5 月份开展了科技月活动 . 在活动中某班举行了小制作评比 , 规定作品上交的时间为 5 月 1 日到 31 日 , 逾期不得参加评比 . 评委会把同学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计 , 绘制了频率分布直方图 ( 如图 ) . 已知从左到右各长方形的高的比为 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1, 第三组的频数为 12, 请解答下列问题 : (1) 本次活动共有多少件作品参加评比 ? (2) 哪组上交的作品数最多 , 有多少件 ? (3) 经过评比 , 第四组和第六组分别有 10 件 ,2 件作品获奖 , 问这两组哪组获奖率较高 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 设从左到右各长方形的高分别为 2 x ,3 x ,4 x ,6 x ,4 x , x. 设参加评比的作品总数为 a 件 , 故本次活动共有 60 件作品参加评比 . (2) 由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多 , 共有 6 x × 5 × a= 18( 件 ) . (3) 第四组和第六组上交的作品数分别为 18 件 ,3 件 , 所以 第六组的获奖率较高 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1) 根据条件 , 从左到右各长方形的高的比为 2 ∶ 3 ∶ 4 ∶ 6 ∶ 4 ∶ 1, 第三组的频数为 12, 计算参加评比的作品总数 ;(2) 根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多 , 再由本组的频率计算频数 ;(3) 先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数 , 再计算获奖率 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 ( 单位 : 小时 ), 制成了如图所示的频率分布直方图 , 其中自习时间的范围是 [17 . 5,30], 样本数据分组 为 [17 . 5,20),[20,22 . 5),[22 . 5,25),[25,27 . 5),[27 . 5,30] . 根据直方图 , 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22 . 5 小时的人数是 ( 　　 ) A.56 B.60 C.120 D.140 解析 : 自习时间不少于 22 . 5 小时为后三组 , 其频率和为 (0 . 16 + 0 . 08 + 0 . 04) × 2 . 5 = 0 . 7, 故人数为 200 × 0 . 7 = 140, 选 D . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 某公司 2018 年在各个项目中总投资 500 万元 , 如图是几类项目的投资占比情况 , 已知在 1 万元以上的项目投资中 , 少于 3 万元的项目投资 占 , 那么不少于 3 万元的项目投资共有 ( 　　 ) A.56 万元 B.65 万元 C.91 万元 D.147 万元 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 对 “ 小康县 ” 的经济评价标准如下 : ① 年人均收入不小于 7 000 元 ; ② 年人均食品支出不大于收入的 35% . 某县有 40 万人 , 调查数据如下 : 年人均 收入 / 元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000 人数 / 万 人 6 3 5 5 6 7 5 3 则该县 ( 　　 ) A. 是小康县 B. 达到标准 ① , 未达到标准 ② , 不是小康县 C. 达到标准 ② , 未达到标准 ① , 不是小康县 D. 两个标准都未达到 , 不是小康县 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 由图表计算可知全县年人均收入为 7 050 元 > 7 000 元 , 达到了标准 ① ; 全县年人均食品支出为 2 695 元 , 而年人均食品支出占收入 的 × 100%≈38 . 2% > 35%, 未达到标准 ② , 所以不是小康县 . 故选 B . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 已知有 8 个样本数据分别为 4,7,8,11,13,15,20,22, 则估计该组数据的总体的第三四分位数为 　　　　　 .  答案 : 17 . 5 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 一个容量为 100 的样本 , 其数据的分组与各组的频数如下表 : 则样本数据落在 [10,40) 上的频率为 　　　　　 .  解析 : 样本数据落在 [10,40) 上频数为 13 + 24 + 15 = 52 . 则样本数据落在 [10,40) 上的频率 为 = 0 . 52 . 答案 : 0 . 52 分组 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7