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- 2021-04-17 发布
数学归纳法
【考点梳理】
1．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝ ( ≥n0， ∈N )时命题成立，证明当n＝ ＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2．数学归纳法的框图表示
【考点突破】
考点一、用数学归纳法证明等式
【例1】设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N )．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N )．
[解析] (1)当n＝2时，左边＝f(1)＝1，
右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝ ( ≥2， ∈N )时，结论成立，
即f(1)＋f(2)＋…＋f( －1)＝ [f( )－1]，
那么，当n＝ ＋1时，
f(1)＋f(2)＋…＋f( －1)＋f( )＝ [f( )－1]＋f( )
＝( ＋1)f( )－ ＝( ＋1)－
＝( ＋1)f( ＋1)－( ＋1)＝( ＋1)[f( ＋1)－1]，
∴当n＝ ＋1时结论仍然成立．
由(1)(2)可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N )．
【类题通法】
1．明确“2思路”
(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)由n＝ 时等式成立，推出n＝ ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
2．记牢“4句话”
两个步骤要做到，递推基础不可少；
归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
【对点训练】
用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
[解析] (1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．
(2)假设n＝ ( ≥1， ∈N )时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1) －1· 2＝(－1) －1·.
那么，当n＝ ＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1) －1· 2＋(－1) ·( ＋1)2
＝(－1) －1·＋(－1) ·( ＋1)2
＝(－1) ·[－ ＋2( ＋1)]
＝(－1) ·.
∴n＝ ＋1时，等式也成立，
由(1)(2)知对任意n∈N ，都有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.
考点二、用数学归纳法证明不等式
【例2】设实数c>0，整数p>1，n∈N .证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.
[解析] ①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设p＝ ( ≥2， ∈N )时，不等式(1＋x) >1＋ x成立．
当p＝ ＋1时，(1＋x) ＋1＝(1＋x)(1＋x) >(1＋x)·(1＋ x)＝1＋( ＋1)x＋ x2>1＋( ＋1)x.
所以当p＝ ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
【类题通法】
应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.
2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝ 成立，推证n＝ ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，
可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
【对点训练】
求证：＋＋…＋0)，
则f′(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上递增，
∴f(x)>f(0)＝0，∵>0，
∴f>0，即ln－>0，
即ln－>0，
∴ln( ＋2)－ln( ＋1)－>0，即ln( ＋1)＋0，n∈N .
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；
(2)证明(1)中的猜想.
[解析] (1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.
∴a1＝－1(a1>0).
当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，
将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.
∴a2＝－(a2>0).同理可得a3＝－.
猜想an＝－(n∈N ).
(2)①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.
②假设当n＝ ( ≥3， ∈N )时，通项公式成立，
即a ＝－.
由于a ＋1＝S ＋1－S ＝＋－－，
将a ＝－代入上式，整理得
a＋2a ＋1－2＝0，
∴a ＋1＝－，
即n＝ ＋1时通项公式成立.
根据①②可知，对所有n∈N ，an＝－成立.
【类题通法】
1．利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.
2．“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
【对点训练】
设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N ，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)由已知得
解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)猜测an＝2n＋1.
由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得，
Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，
两式相减，整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，
即an＋1＝an＋，
又a1＝3，a2＝5，满足式子，
建立了an与an＋1的递推关系(n∈N )；
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝3＝2×1＋1，满足结论，
②假设当n＝ ( ≥1， ∈N )时，结论成立．
即a ＝2 ＋1，
那么当n＝ ＋1时，
a ＋1＝a ＋＝(2 ＋1)＋
＝2 ＋3＝2( ＋1)＋1，故当n＝ ＋1时，结论也成立，
由①②可知，对于n∈N ，有an＝2n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.