高考数学复习练习试题12_4直接证明与间接证明 3页

‎§12.4　直接证明与间接证明 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b大小关系为_________‎ ‎2．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则下列各式成立的有__________．(填序号)‎ ‎①FP1＋FP2＝FP3‎ ‎②FP＋FP＝FP ‎③2FP2＝FP1＋FP3‎ ‎④FP＝FP1·FP3‎ ‎3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝‎2f(m，1)．给出以下三个结论：‎ ‎(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.‎ 其中正确结论的个数为________．‎ ‎4．设x、y、z>0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则下列关于a、b、c三个数的结论中，正确的是__________．‎ ‎①至少有一个不大于2 ②都小于2‎ ‎③至少有一个不小于2 ④都大于2‎ ‎5．(2010·广东深圳高级中学一模)定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：‎ ‎(ⅰ)1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1 则n*1= ‎ ‎6．如果a＋b>a＋b，则a、b应满足的条件是__________________．‎ ‎7．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)‎ ‎①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；‎ ‎③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．‎ ‎8．(2010·常熟一检)下面有4个命题：‎ ‎①当x>0时，2x＋的最小值为2；‎ ‎②若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2；‎ ‎③将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y＝sin的图象；‎ ‎④在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝；‎ 类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.‎ 其中错误命题的序号为________(把你认为错误命题的序号都填上)．‎ ‎9．(2010·张家港模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；‎ ‎④a2＋b2>2；⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是________．(填序号)‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：a>0且－2<< －1.‎ ‎11.(16分)已知a>0，求证： －≥a＋－2‎ ‎12．(16分)已知a，b，c是互不相等的实数．‎ 求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．‎ 答案 ‎1．a>b 2．③ 3．3 4．③ 5．n 6．a≥0，b≥0且a≠b 7．①③④‎ ‎8．①③ 9．③‎ ‎10．证明　f(0)>0，∴c>0，‎ ‎ 又∵f(1)>0，即‎3a＋2b＋c>0.①‎ ‎ 而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，‎ ‎ ∴‎3a－‎2a－‎2c＋c>0，即a－c>0，∴a>c.‎ ‎ ∴a>c>0.又∵a＋b＝－c<0，∴a＋b<0.‎ ‎ ∴1＋<0，∴<－1.又c＝－a－b，‎ ‎ 代入①式得，‎3a＋2b－a－b>0，∴‎2a＋b>0，‎ ‎ ∴2＋>0，∴>－2.故－2<<－1.‎ ‎11．证明　要证 －≥a＋－2，‎ ‎ 只要证 ＋2≥a＋＋.‎ ‎ ∵a>0，故只要证2≥2，‎ ‎ 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，‎ ‎ 从而只要证2≥，‎ ‎ 只要证4≥2，即a2＋≥2，‎ ‎ 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．‎ ‎12．证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，‎ ‎ 由y＝ax2＋2bx＋c，‎ ‎ y＝bx2＋2cx＋a，‎ ‎ y＝cx2＋2ax＋b，‎ ‎ 得Δ1＝(2b)2－‎4ac≤0，Δ2＝(‎2c)2－4ab≤0，‎ ‎ Δ3＝(‎2a)2－4bc≤0.‎ ‎ 上述三个同向不等式相加得，‎ ‎ 4b2＋‎4c2＋‎4a2－‎4ac－4ab－4bc≤0，‎ ‎ ∴‎2a2＋2b2＋‎2c2－2ab－2bc－2ca≤0，‎ ‎ ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，‎ ‎ ∴a＝b＝c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，‎ ‎ 因此假设不成立，从而命题得证．‎