湖北省荆门市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析 18页

www.ks5u.com 荆门市2019—2020学年度上学期 高二年级学业水平选择性考试阶段性检测 数 学 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线在轴上的截距为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，可得，‎ 解得，‎ 即直线在轴上的截距为．‎ 故选．‎ ‎2.圆心为，半径为的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先求出圆的标准方程，再把它化为一般方程，即可得答案．‎ ‎【详解】圆心为，半径为2的圆的方程为，‎ - 18 -‎ 即.‎ 故选：A．‎ 点睛】本题考查圆的标准方程和一般方程，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎3.抛物线焦点坐标为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为标准方程，求出即可得结果.‎ ‎【详解】整理抛物线方程得，‎ 焦点在轴，，‎ 焦点坐标为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于简单题.由抛物线的方程求准线与焦点坐标，一定要化为标准方程.‎ ‎4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ）‎ A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.‎ ‎【详解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.‎ - 18 -‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.‎ ‎5.是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的一点，则直线的斜率之积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出、坐标，设出，利用已知条件，列出关系式，求解即可．‎ ‎【详解】∵，是双曲线的左、右顶点，∴，，‎ 设，则双曲线，∴，‎ 直线，的斜率之积：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用、直线的斜率的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎6.已知等差数列前项的和为，若，则（ ）‎ A. 154 B. 153 C. 77 D. 78‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由，解可得，又由，计算即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，等差数列中，若，即，解得，‎ - 18 -‎ 又，∴.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和公式、等差数列的前项和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎7.已知直线，直线，且，则的值为（ ）‎ A. -1 B. C. 或-2 D. -1或-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由两直线平行可知系数满足值为-1或-2‎ 考点：两直线平行的判定 ‎8.设等比数列的前项和为，若 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由等比数列前项和公式列方程，并解得，然后再次利用等比数列前项和公式，则求得答案．‎ ‎【详解】设公比为，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的纵坐标为负数，判断出直线斜率大于零，设直线的倾斜角为，根据抛物线的定义，求得的值，进而求得，从而求得也即直线的斜率，利用点斜式求得直线的方程.‎ ‎【详解】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.‎ 故选：D.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10.等差数列的前项和为，公差为，则（ ）‎ A. 随的增大而减小 B. 随的增大而增大 C. 随的增大而增大 D. 随的增大而增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，，当时，随的增大而减小，与无关，故A错误；‎ 对于B，，当时，随的增大而增大，与无关，故B错误；‎ 对于C，，当时，等差数列为递减数列，随 - 18 -‎ 的增大而减小，故C错误；‎ 对于D，，当时，等差数列为递增数列，随的增大而增大，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意数列的函数特性.‎ ‎11.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 ‎【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ①‎ AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为，‎ 即x-2y+3=0．联立 解得 ‎∴△ABC的外心为（-1，1）．‎ 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ②‎ 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．‎ 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A ‎【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：‎ - 18 -‎ ‎ 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．‎ ‎12.设F是椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点，P是椭圆C上的点，圆x2＋y2＝与线段PF交于A，B两点，若A，B三等分线段PF，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取线段PF的中点H，连接OH，OA，由题意可得OH⊥AB，设|OH|＝d，根据椭圆的定义以及在Rt△OHA中，可得a＝5d，在Rt△OHF中，利用勾股定理即可求解.‎ ‎【详解】如图，取线段PF的中点H，连接OH，OA.‎ 设椭圆另一个焦点为E，连接PE.‎ ‎∵A，B三等分线段PF，∴H也是线段AB的中点，即OH⊥AB.‎ 设|OH|＝d，则|PE|＝2d，|PF|＝2a－2d，|AH|＝.‎ 在Rt△OHA中，|OA|2＝|OH|2＋|AH|2，解得a＝5d.‎ 在Rt△OHF中，|FH|＝，|OH|＝，|OF|＝c.‎ 由|OF|2＝|OH|2＋|FH|2，‎ 化简得17a2＝25c2，.‎ 即椭圆C的离心率为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，解题的关键是理解题中的几何关系，属于中档题.‎ - 18 -‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上相应位置）‎ ‎13.两条平行直线与间的距离为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程化成，再利用两条平行线之间的距离公式加以计算，即可得到与之间的距离．‎ ‎【详解】将化成，‎ 与之间的距离为，‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查两条平行线之间距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ ‎14.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，，弦所在直线方程为，则，‎ ‎∵，在抛物线上 ‎∴‎ ‎∴‎ - 18 -‎ ‎∴，即 ‎∴弦所在直线方程为 故答案为 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦所在直线方程的斜率，方法一利用点差法，列出有关弦的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎15.已知圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆心和半径，根据圆上有且仅有三个点到双曲线渐近线的距离为，判断出渐近线和圆的位置关系，根据点到直线距离公式列方程，由此求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】圆方程可化为，故圆心为，半径.由于圆上有且仅有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，所以圆心到渐近线的距离为.不妨设双曲线的一条渐近线为，即，由点到直线距离公式得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查双曲线的渐近线和离心率 ‎16.数列的前项和为，且满足且，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件求出数列的公差，然后转化求解的最小值．‎ ‎【详解】由条件满足，‎ 得或，‎ 由知，当时，；‎ 当时，．‎ 故当前50项的公差为2，后50项的公差为1时，数列的前100项和最小．‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若双曲线上的点满足，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得，结合，，的关系，可得，，即可得到所求双曲线的方程；‎ ‎（2）由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．‎ ‎【详解】（1）设双曲线的方程为，‎ 由，，且该双曲线过点，可得 ‎，‎ - 18 -‎ ‎，又，，‎ 双曲线的标准方程为；‎ ‎（2）由，得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力．‎ ‎18.在平面直角坐标系中，设直线与圆交于不同两点. ‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若圆上存在点C使得为等边三角形，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知圆心到直线的距离，即可解出答案．‎ ‎（2）有题知圆周角，得圆心角，则圆心到直线的距离，就可解得的值．‎ ‎【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离 ， ‎ 解得，∴的取值范围为； ‎ ‎（2）为等边三角形，∴圆周角， 得圆心角，‎ 则圆心到直线的距离，解得.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．‎ - 18 -‎ ‎19.已知是公比为整数的等比数列，，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设是公比为整数的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．‎ ‎【详解】（1）设数列的公比为，∵成等差数列，‎ ‎∴ ‎ 又，∴，解得或，‎ ‎∵公比为整数，∴舍去，∴‎ ‎∴.‎ ‎（2）由 ‎ 则 ① ‎ ‎ ②‎ 由①②，得 ‎ ‎ ‎∴.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式、等差数列的中项性质的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B．‎ ‎（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据韦达定理和弦长公式列方程可得;‎ ‎(2)联立直线与抛物线,根据韦达定理以及斜率公式可证结论。‎ 详解】（1）直线y＝2x﹣p与抛物线C：y2＝2px（p＞0）联立，可得4x2﹣6p+p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2，‎ ‎|AB|••5，‎ 解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x；‎ ‎（2）证明：由y＝2x﹣4p联立抛物线方程y2＝2px，可得2x2﹣9px+8p2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2＝4p2，‎ 即有y1y2•（）＝﹣2p4p2，即有x1x2+y1y2＝0，‎ 可得OA⊥OB．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，韦达定理，属于中档题。‎ ‎21.甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 (n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．‎ ‎(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；‎ ‎(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？‎ ‎【答案】（1）an＝bn＝a(n∈N*)（2）第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购 - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎(1)假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因为n＝1时，a1＝a，则n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又b1＝a，n≥2时，bn－bn－1＝a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，显然n＝1也适合，故bn＝a(n∈N*)．‎ ‎(2)当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；当n≥4时，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被甲超市收购．‎ 当n≥4时，令an>bn，则(n－1)a>a n－1>6－4·.即n>7－4·.又当n≥7时，0<4·<1，‎ 故当n∈N*且n≥7时，必有n>7－4·.‎ 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．‎ ‎22.已知分别为椭圆的左右焦点.‎ ‎（1）当时，点为椭圆上一点且位于第一象限，若，求点的坐标；‎ ‎（2）当椭圆焦距为2时，直线交椭圆交于两点，且，判断的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是，定值为 - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，椭圆方程为，则，设，，，通过得：，求出的坐标．‎ ‎（2）联立，设，，，，通过韦达定理，结合，推出，利用弦长公式以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出结果．‎ ‎【详解】（1）当时，椭圆方程为，则 设则，‎ 由得: ， ‎ 结合解得，∴点坐标为 . ‎ ‎（2）由题意知椭圆 ∴椭圆方程为：‎ 联立可得： ‎ 设，则 ①‎ 且，‎ ‎，‎ 由可得，‎ - 18 -‎ ‎，满足① ‎ ‎∵，‎ 又原点到直线的距离，‎ ‎∴为定值 ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系定值问题的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力．‎ - 18 -‎ - 18 -‎