高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评23 word版含答案 5页

学业分层测评（二十三） (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．对任意的实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＝2 的位置关系一定是( ) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)． 【答案】 C 2．若 PQ 是圆 x2＋y2＝9 的弦，PQ 的中点是 A(1,2)，则直线 PQ 的方程是( ) A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0 【解析】 结合圆的几何性质知直线 PQ 过点 A(1,2)，且和直线 OA 垂直，故 其方程为：y－2＝－1 2(x－1)，整理得 x＋2y－5＝0. 【答案】 B 3．(2015·安徽高考)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相切，则 b 的 值是( ) A．－2 或 12 B．2 或－12 C．－2 或－12 D．2 或 12 【解析】 法一：由 3x＋4y＝b 得 y＝－3 4x＋b 4 ，代入 x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 并化简得 25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0， 解得 b＝2 或 12. 法二：由圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 可知圆心坐标为(1,1)，半径为 1，所以 |3×1＋4×1－b| 32＋42 ＝1，解得 b＝2 或 12. 【答案】 D 4．若直线 x－y＝2 被圆(x－a)2＋y2＝4 所截得的弦长为 2 2，则实数 a 的值为 ( ) A．－1 或 3 B．1 或 3 C．－2 或 6 D．0 或 4 【解析】 由弦长公式 l＝2 r2－d2，可知圆心到直线的距离 d＝ 2，即 |a－2| 12＋－12 ＝ 2，解得 a＝0 或 4. 【答案】 D 5．圆 x2＋y2－4x＋6y－12＝0 过点(－1,0)的最大弦长为 m，最小弦长为 n，则 m－n＝( ) A．10－2 7 B．5－ 7 C．10－3 3 D．5－3 2 2 【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距 离为 0＋32＋－1－22＝3 2<5.∴最大弦长为直径，即 m＝10，最小弦长为以(－ 1,0)为中点的弦， 即 n＝2 25－3 22＝2 7. ∴m－n＝10－2 7. 【答案】 A 二、填空题 6．直线 x－y＝0 与圆(x－2)2＋y2＝4 交于点 A、B，则|AB|＝________. 【导学号：09960140】 【解析】 圆心到直线的距离 d＝|2－0| 2 ＝ 2，半径 r＝2，∴|AB|＝2 r2－d2＝ 2 2. 【答案】 2 2 7．(2015·烟台高一检测)圆 x2＋y2＋2x＋4y－3＝0 上到直线 x＋y＋1＝0 的距离 为 2的点有________个． 【解析】 圆的方程可化为 (x＋1)2＋(y＋2)2＝8， 所以弦心距为 d＝|－1－2＋1| 2 ＝ 2. 又圆的半径为 2 2，所以到直线 x＋y＋1＝0 的距离为 2的点有 3 个． 【答案】 3 三、解答题 8．过点 A(1,1)，且倾斜角是 135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8 是什么位置 关系？若相交，试求出弦长． 【解】 因为 tan 135°＝－tan 45°＝－1， 所以直线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 圆心到直线的距离 d＝|2＋2－2| 2 ＝ 2＜r＝2 2，所以直线与圆相交． 弦长为 2 r2－d2＝2 8－2＝2 6. 9．已知以点 A(－1,2)为圆心的圆与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切，过点 B(－2,0) 的动直线 l 与圆 A 相交于 M，N 两点，Q 是 MN 的中点． (1)求圆 A 的方程； (2)当|MN|＝2 19时，求直线 l 的方程． 【解】 (1)设圆 A 的半径为 r， ∵圆 A 与直线 l1：x＋2y＋7＝0 相切， ∴r＝|－1＋4＋7| 5 ＝2 5， ∴圆 A 的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时， 则直线 l 的方程 x＝－2， 此时有|MN|＝2 19，即 x＝－2 符合题意． 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＝0， ∵Q 是 MN 的中点，∴AQ⊥MN， ∴|AQ|2＋ 1 2|MN| 2＝r2， 又∵|MN|＝2 19，r＝2 5， ∴|AQ|＝ 20－19＝1， 解方程|AQ|＝ |k－2| k2＋1 ＝1，得 k＝3 4 ， ∴此时直线 l 的方程为 y－0＝3 4(x＋2)， 即 3x－4y＋6＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＝－2 或 3x－4y＋6＝0. [自我挑战] 10．直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2有且仅有一个公共点，则实数 b 的取值范 围是( ) A．b＝ 2 B．－1＜b≤1 或 b＝－ 2 C．－1≤b≤1 D．以上都不正确 【解析】 如图，作半圆的切线 l1 和经过端点 A，B 的直线 l3，l2，由图可知， 当直线 y＝x＋b 为直线 l1 或位于 l2 和 l3 之间(包括 l3，不包括 l2)时，满足题意． ∵l1 与半圆相切，∴b＝－ 2； 当直线 y＝x＋b 位于 l2 时，b＝－1； 当直线 y＝x＋b 位于 l3 时，b＝1. ∴b 的取值范围是－1＜b≤1 或 b＝－ 2. 【答案】 B 11．(1)圆 C 与直线 2x＋y－5＝0 切于点(2,1)，且与直线 2x＋y＋15＝0 也相切， 求圆 C 的方程； (2)已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的 弦长为 2 7，求圆 C 的方程. 【导学号：09960141】 【解】 (1)设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. ∵两切线 2x＋y－5＝0 与 2x＋y＋15＝0 平行， ∴2r＝|15－－5| 22＋12 ＝4 5，∴r＝2 5， ∴|2a＋b＋15| 22＋1 ＝r＝2 5，即|2a＋b＋15|＝10， ① |2a＋b－5| 22＋1 ＝r＝2 5，即|2a＋b－5|＝10， ② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b－1 a－2 ＝1 2 ， ③ 由①②③解得 a＝－2， b＝－1. ∴所求圆 C 的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20. (2)设圆心坐标为(3m，m)． ∵圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|， ∴圆心到直线 y＝x 的距离为|2m| 2 ＝ 2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得 9m2 ＝7＋2m2，∴m＝±1， ∴所求圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.