高中数学必修4教案：10_备课资料（2_5_2 向量在物理中的应用举例） 2页

备课资料 一、向量与重心问题 假如有两个质点M1,M2,它们的质量分别是m1,m2,由物理学知识,这两个质点的重心M在线段M1M2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即 ‎,或m1=m2.‎ 现设点M1、M2、M,对应的向量分别是r1、r2、r,则上式可以写成 m1(r-r1)=m2(r2-r).‎ 所以,点M处的质量为m1+m2.‎ 现求三个质点的重心问题.‎ 三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3,所对应的向量分别是r1、r2、r3,‎ 我们可设M1,M2的重心在点D处,该处对应的向量为rD=,该点的质量为m1+m2,然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r,易得 r=‎ 二、备用习题 ‎1.作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|=5,|F2|=3,夹角为60°，则F1+F2的大小为_____________.‎ ‎2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速. ‎ ‎3.在半径为15 cm的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.‎ ‎4.如图9所示,重力为G的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小. ‎ 图9‎ 参考答案:‎ ‎1.7‎ ‎2.如图10所示,设表示船垂直于对岸的速度,则+=,‎ 图10‎ 知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),‎ 所以在Rt△ABC中,||=2 km/h,||=8÷2=4 km/h,则|BC|=2 km/h.‎ 答:河水的流速为2 km/h.‎ ‎3.如图11所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(8,0),圆O2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O3.‎ 图11‎ 根据物理学知识,知O3在直线O1O2上,即可设O3(x3,0),且满足,‎ 其中λ=.由定比分点坐标公式知0=,解得x3=-1,‎ 即O3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.‎ ‎4.对小球的受力分析如图9所示,重力为G,斜面弹力为N2(垂直于斜面向上),木板弹力N1(垂直于木板),其中N1与N2的合力的大小恒为|G′|,方向向上,N2的方向始终不变,随着木板的转动,N1的方向始终垂直于木板,N1的大小在变化,且满足,又|G′|=|G|,∴|N1|=‎ ‎∴当sinθ取最大值1时,|N1|min=|G|sinα,此时θ=.‎ ‎(设计者：郑吉星)‎