2017年高三压轴卷全国卷（三）数学（理）试题（PDF版） 4页

２０１７ 年高三年级压轴题 　 理科数学全国卷(三) 第Ⅰ卷(选择题 　 共 ６０ 分) 一、选择题(本题共 １２ 小题,每小题 ５ 分,共 ６０ 分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．) １．若集合 M＝{x|y＝log２ －x２＋x＋６ ( )},N＝{y|y＝x２＋１,x∈R},则集合 M∩N＝ (　　) A．(－２,＋∞) B．(－２,３) C．[１,３) D．R ２．若复数z＝１－i,则(１＋z)Űz＝ (　　) A．３－i B．３＋i C．１＋３i D．３ ３．已知{an}为等差数列,a１＋a３＋a５＝１０５,a２＋a４＋a６＝９９,以Sn 表示{an}的前n 项和,则使得Sn达到最大值的n 是 (　　) A．２１ B．２０ C．１９ D．１８ ４．位于西部地区的 A、B 两地,据多年的资料记载:A、B 两地一年中下雨天仅占 ６％ 和 ８％,而同时下雨的比例为 ２％,则 A 地为雨天时,B 地也为雨天的概率为 (　　) A．１ ７ B．１ ４ C．１ ３ D．３ ４ ５．若 m 是 ２ 和 ８ 的等比中项,则圆锥曲线x２＋y２ m ＝１ 的离心率是 (　　) A．３ ２ B．５ C．３ ２ 或 ５ ２ D．３ ２ 或 ５ ６．正方体ABCD－A１B１C１D１ 中E 为棱BB１ 的中点(如图),用过点A,E,C１ 的平面截去该正 方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为 (　　) ７．函数f(x)＝ x x２＋a 的图象可能是 (　　) A．(１)(３) B．(１)(２)(４) C．(２)(３)(４) D．(１)(２)(３)(４) ８．已知 f x( ) ＝２ x＋２ －x ,f m( ) ＝３,且 m＞０,若a＝f ２m( ) ,b＝２f m( ) ,c＝f m＋２ ( ) ,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c １－３ ９．执行如图所示的程序框图,若输出s的值为 １６,则输入n(n∈N)的最小值为 (　　) A．１１ B．１０ C．９ D．８ １０．已知长 方 体 ABCD－A１ B１ C１ D１ 的 外 接 球 O 的 体 积 为３２π ３ ,其 中 BB１ ＝２,则 三 棱 锥 O－ABC的体积的最大值为 (　　) A．１ B．３ C．２ D．４ １１．已知F 为双曲线x２ a２ －y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左焦点,定点G ０,c( ) ,若双曲线上存在一点 P 满足 |PF|＝|PG|,则双曲线的离心率的取值范围是 (　　) A．(２,＋∞) B．[２,＋∞) C．(１,２] D．(１,２) １２．若函数f(x)为定义在R 上的奇函数,其导函数为f′(x),对任意实数x 满足x２f′(x)＞２xf(－x),则不等式 x２f(x)＜(３x－１)２f(１－３x)的解集是 (　　) A． １ ４,＋∞æ è ç ö ø ÷ B．０,１ ４ æ è ç ö ø ÷ C． －∞,１ ４ æ è ç ö ø ÷ D． －∞,１ ４ æ è ç ö ø ÷ ∪ １ ４,＋∞æ è ç ö ø ÷ 第Ⅱ卷(非选择题 　 共 ９０ 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 １３~２１ 题为必考题,每个试题考生都必须作答．第 ２２~２３ 题为选考题,考生 根据要求作答． 二、填空题(本题共 ４ 个小题,每小题 ５ 分) １３．已知两个平面向量a,b满足 a ＝１,a－２b ＝ ２１,且a与b 的夹角为 １２０°,则 b ＝　　　　． １４．我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理(祖恒原理):“幂势既同,则积不容 异”．“势”即是高,“幂”是面积．意思是:如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截 面积恒等,那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理,如图所示,在平面直角坐标系 中,图 １ 是一个形状不规则的封 闭图形,图 ２ 是一个上底为 １ 的 梯 形,且 当 实 数t取 ０,３ [ ] 上的任意值时,直线y＝t被图 １ 和图 ２ 所截得的两线段长始终相等,则图 １ 的面积为 　　　　． １５．若实数x,y 满足约束条件 ２x＋y－４≤０ x－２y－２≤０ x－１≥０ ì î í ïï ïï ,则y－１x 的最小值为 　　　　． １６．已知 △ABC 中,AC＝ ２,BC＝ ６,△ABC 的面积为 ３ ２ ．若线段BA 的延长线上存在点D,使 ∠BDC＝π ４,则CD ＝　　　　． 三、解答题:本题共 ６ 个小题,共 ７０ 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,将解答过程写在答题 纸对应题的题框内． １７．(本小题满分 １２ 分)已知数列{bn}的前n项和Bn＝３n２－n ２ ． (１)求数列 bn{ }的通项公式; (２)设数列{an}的通项an＝[bn＋(－１) n ]Ű２ n ,求数列{an}的前n项和Tn． ２－３ １８．(本小题满分 １２ 分)２０１６ 年,我国许多城市遭遇了雾霾天气．经气象局统计,某市从 １ 月 １ 日至 １ 月 ３０ 日这 ３０天里有 ２６ 天出现雾霾天气．«环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)»依据 AQI 指数高低将空气污染级别 分为:优,指数为 ０－５０;良,指数为 ５１－１００;轻微污染,指数为 １０１－１５０;轻度污染,指数为 １５１－２００;中度污 染,指数为 ２０１－２５０;中度重污染,指数为 ２５１－３００;重度污染,指数大于 ３００．下面表 １ 是该观测点记录的 ４ 天 里,AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度y(千米)的情况,表 ２ 是某气象观测点记录的该市 １ 月 １ 日到 １ 月 ３０ 日 AQI 指数频数统计结果, 表 １:AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度y(千米)情况 AQI 指数 M ９００ ７００ ３００ １００ 空气可见度y(千米) ０．５ ３．５ ６．５ ９．５ 表 ２:１ 月 １ 日到 １ 月 ３０ 日 AQI 指数频数统计 AQI 指数 [０,２００] (２００,４００] (４００,６００] (６００,８００] (８００,１０００] 频数 ３ ６ １２ ６ ３ (１)设变量x＝ M １００,根据表 １ 的数据,求出^y 关于x 的线性回归方程; (２)小王在记录表 ２ 数据的观测点附近开了一家小饭馆,饭馆生意的好坏受空气质量影响很大．假设每天空气 质量的情况不受前一天影响.经小王统计:AQI 指数不高于 ２００ 时,饭馆平均每天净利润约 ７００ 元,AQI 指数 在 ２００ 至 ４００ 时,饭馆平均每天净利润约 ４００ 元,AQI 指数大于 ４００ 时,饭馆每天要净亏损 ２００ 元． ①将频率看作概率,求小王在连续三天里饭馆净利润约 １２００ 元的概率; ②计算该饭馆一月份每天收入的数学期望． (用最小二乘法求线性回归方程系数公式^b＝∑ n i＝１ xiyi－nx－ Űy－ ∑ n i＝１ xi ２－nx－ ２ , ^a＝y－－^bx－ )． １９．(本小题满分 １２ 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是AB,BC 的中 点,将 △AED,△DCF 分别沿DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于P． (１)求证:平面PBD⊥ 平面BFDE; (２)求二面角P－DE－F 的余弦值． ２０．(本小题满分 １２ 分)已知直线l的方程为y＝x＋２,点P 是抛物线y２＝４x 上到直线l 距离 最小的点,点 A 是抛物线上异于点P 的点,直线 AP 与直线l 交于点Q,过点 Q 与x 轴平 行的直线与抛物线y２＝４x 交于点B． (１)求点P 的坐标; (２)证明直线 AB 恒过定点,并求这个定点的坐标． ３－３ ２１．(本小题满分 １２ 分) 已知函数g(x)＝alnx＋１ ２ x２＋bx． (１)若g(x)在点(１,g(１))处的切线方程为 ２x－y－１＝０,求a,b的值; (２)若b＝－a,且x１,x２ 是函数g(x)的两个极值点,求证:g(x１)＋g(x２)＋４＜０． ２２．(本小题满分 １０ 分)选修 ４－４:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,直线l: x＝t y＝－ ３t{ (t为参数),曲线C１: x＝cosθ y＝１＋sinθ{ (θ为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C２ 的方程为ρ＝－２cosθ＋２ ３sinθ． (１)分别求曲线C１ 的极坐标方程和曲线C２ 的直角坐标方程; (２)设直线l交曲线C１ 于O,A 两点,直线l交曲线C２ 于O,B 两点,求 AB 的长． ２３．(本小题满分 １０ 分)选修 ４－５:不等式选讲 已知函数f x( ) ＝x＋１＋ ３－x ,x≥－１． (１)求不等式f x( ) ≤６ 的解集; (２)若f x( ) 的最小值为n,正数a,b满足 ２nab＝a＋２b,求 ２a＋b的最小值． ４－３