高考数学常见题型解法归纳反馈训练第79讲圆锥曲线中的定点和定值问题的解法 10页

第 79 讲 圆锥曲线中的定点和定值问题的解法 【知识要点】 一、 定点问题：对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线 过定点问题， 证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线 的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲 线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数 ，结合已知 条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式 ，（一 般 地 ， 为 关 于 的 二 元 一 次 关 系 式 ） 由 上 述 原 理 可 得 方 程 组 ，从而求得该定点. 二、定值问题：在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，定值问 题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明 其结果是一个常数. 【方法讲评】 题型一 定点问题 方法一 特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明 该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）. 方法二 分离参数法：若等式 对 恒成立，则 同 时成立，运用这一原理，可以证明直线或曲线过定点问题.一般可以根据需要选定参数 ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式 ，（一般地， 为关于 的二元一 次关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点. 【例 1】 设 点 和 是 抛 物 线 上 原 点 以 外 的 两 个 动 点 ， 且 ，求证直 线 过定点. 【解析一】取 写出直线 的方程；再取 写出 直线 的方程；最后求出两条直线的交点，得交点为 . 设 ，直线 的方程为 ， 由题意得 两式相减得 ，即 ， 直线 的方程为 ，整理得 ① 【点评】（1）证明直线过定点，一般有两种方法.方法一：特殊探求，一般证明：即可以 先考虑动直线 或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直 线或曲线的方程后等式恒成立）.方法二：分离参数法：若等式 对 恒成立，则 同时成立，运用这一原理，可以证明直线或曲线过定 点问题.一般可以根据需要选定参数 ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参 数得到等式 ，（一般地， 为关于 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组 ，从而求得该定点.（2）解析一 使用的就是方法一，解析二使用的就是方法二. 大家注意灵活选择. 【反馈检测 1】已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距 离的最大值为 ，最小值为 ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点 （ 不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆 的右顶点，求证：直线 过定点， 并求出该定点的坐标． 【反馈检测 2】在直角坐标系 中,椭圆 的离心率 , 且过点 ,椭圆 的长轴的两端点为 ,点 为椭圆上异于 的动点,定直线 与直线 、 分别交于 两点. （1）求椭圆 的方程； （2）在 轴上是否存在定点经过以 为直径的圆,若存在,求定点坐标；若不存在,说 明理由. 题型二 定值问题 方法一 特殊探究，一般证明. 方法二 直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数. 【例 2】过抛物线 ： （ ＞0）的焦点 作直线 交抛物线于 两点，若线 段 与 的长分别为 ，则 的值必等于（ ）． A． B． C． D． 又由 ，消去 得 ∴ ， 【点评】定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给 定的对象的值，证明其结果是一个常数. 【反馈检测 3】椭圆 的离心率为 ，且过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）若 分别是椭圆的左、右顶点，动点 满足 ，且 交椭圆 于 不同于 的点 ，求证： 为定值． 【反馈检测 4】如图， 为椭圆 的左右焦点， 是椭 圆的两个顶点， ， ，若点 在椭圆 上，则点 称为点 的一个“椭点”.直线 与椭圆交于 两点， 两点的“椭点”分别为 ， 已知以 为直径的圆经过坐标原点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）试探讨 的面积 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说 明理由. 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 79 讲： 圆锥曲线中的定点和定值问题的解法参考答案 【反馈检测 1 答案】（1） ；（2）直线 过定点，定点坐标为 ． （Ⅱ）设 ， ， 联立 得 ， 又 ， 因为以 为直径的圆过椭圆的右焦点 ， ，即 ， ， ， ． 【反馈检测 2 答案】(1) ；(2)存在， . 【反馈检测 2 详细解析】（1） , 椭圆 的方程为 . （2）设 、 的斜率分别为 .即 , 由 知 , 由 知 , 的中点 . 以 为直径的圆的方程为 , 令 , ,即 ,解得 或 , 存在定点 经过以 为直径的圆. 【反馈检测 3 答案】（1） （2） 【反馈检测 4 答案】（1） ；（2） 的面积为定值 1. 【反馈检测 4 详细解析】（1）由题可得 解得 ，故椭圆 的标准方 程为 . （2）设 ， ，则 ， .由 ，即 . （*） ①当直线 的斜率不存在时， . ②当直线 的斜率存在时，设其直线为 ，联立 得 ， 则 ， ， 同 理 ， 代 入 （ * ）， 整 理 得 ， 此 时 ， ，∴ . 综上， 的面积为 定值 1.