专题44+数列+数列的通项1（观察法、前n项和求通项）-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 7页

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试 ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.数列的通项公式：‎ ‎（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.‎ ‎（2）数列的前项和和通项的关系：.‎ ‎2.求数列的通项公式的注意事项：‎ ‎（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．‎ ‎（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.‎ ‎（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. ‎ ‎3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。‎ ‎3. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用求出；‎ ‎(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；‎ ‎(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．‎ ‎【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.‎ ‎4. 递推公式推导通项公式方法：‎ ‎（1）累加法： ‎ ‎（2）累乘法： ‎ ‎（3）待定系数法：（其中均为常数，）‎ 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎（4）待定系数法：（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.‎ 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.‎ ‎（5）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，‎ 解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（6）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（7）待定系数法：（其中均为常数）.‎ 解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.‎ （8） 取倒数法： ‎ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.‎ ‎（9）取对数 解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．‎ ‎(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．‎ ‎(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． ‎ ‎2.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图1所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示这堆的乒乓 球总数，则；（的答案用表示）.‎ ‎【解析】由题意可知：.‎ 图1‎ ‎…‎ 所以有 通过叠加法可求得：‎ ‎【答案】‎ ‎3.已知整数对排列如下则第60个整数对是______________‎ ‎【答案】‎ ‎4.已知数列2008，2009，1，-2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2018项之和__________.‎ ‎【答案】4017‎ ‎5.如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么的值为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D.4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎【解析】第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的，，，则. ‎ 答案: A ‎6.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第行，第列的数为，则等于（ ） ‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎……‎ A. B. C. D.1‎ ‎【解析】因为每列都是等差数列，所以，又因为每一行都是等比数列，‎ 所以，所以选B.‎ ‎【答案】 B ‎7.已知正项数列满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【分析】（1）式中令n=1,求得，n用n-1代，得，两式作差可得，可求得。（2）由（1），由错位相减法可求和。‎ ‎（2）‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 ‎，‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎8.设数列的前n项和为.已知.‎ ‎ （I）求的通项公式；‎ ‎ （II）若数列满足，求的前n项和.‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用数列前 项和 与通项 的关系求解；‎ ‎（II）结合第（I）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.‎ ‎（II）因为，所以 ，‎ 当 时， 所以 ‎ 当 时， ‎ 所以 两式相减，得 ‎ 所以 经检验， 时也适合，综上可得： .‎ ‎【答案】（I）; （II）. ‎