2020-2021学年四川绵阳高一上数学月考试卷 7页

第 1页 共 14页 ◎ 第 2页 共 14页 2020-2021 学年四川绵阳高一上数学月考试卷 一、选择题 1. 已知集合 A = x|2x − 3 < 3x ，B = x|x − 2 ≥ 0 ，则下列结论正确的是( ) A.− 4 ∈ A B.− 3 ∈ B C.A ⊂ B D.B ⊂ A 2. 已知全集 U = R，集合 A = {x| − 2 ≤ x ≤ 3}，B = {x|x <− 1 或 x > 4}，那么集合 A ∩ (∁ UB)等于( ) A.{x| − 2 ≤ x < 4} B.{x|x ≤ 3 或 x ≥ 4} C.{x| − 2 ≤ x <− 1} D.{x| − 1 ≤ x ≤ 3} 3. 已知函数 f(x − 1) = x2 − 3，则 f(2)的值为( ) A.− 2 B.6 C.1 D.0 4. 如图，阴影部分可用集合 M，P 表示为( ) A.M ∩ P B.M ∪ P C. ∁ UM ∩ ∁ UP D. ∁ UM ∪ ∁ UP 5. 下列各组函数中，两个函数相等的是( ) A.y = 3 x3与 y = x B.y = x − 1 与 y = x2 x − 1 C.y = ( x)2与 y = x2 D.y = ( x)2与 y = x 6. 已知 f(x)，g(x)对应值如下表： x 0 1 − 1 f(x) 1 0 − 1 x 0 1 − 1 g(x)− 1 0 1 则 f[g(1)]的值为( ) A.− 1 B.0 C.1 D.不存在 7. 下列集合中，是集合 A = {x|x2 < 5x}的真子集的是( ) A.{2, 5} B.(6,  + ∞) C.(0, 5) D.(1, 5) 8. 函数 f x = x2 − 2|x| − 3 的图象是( ) A. B. C. D. 9. 已知集合 A = {x|0 ≤ x ≤ 4}，B = {y|0 ≤ y ≤ 2}，则下列对应不是从 A 到 B 的映射的是( ) A.f：x → y = 1 2 x B.f：x → y = 2 3 x C.f：x → y = 1 3 x D.f：x → y = 1 8 x2 10. 已知 f(x)是定义在(0,  + ∞)上的单调增函数，若 f(x) > f(2 − x)，则 x 的取值范围是( ) A.1 < x < 2 B.x < 1 C.0 < x < 2 D.x > 1 11. 函数 f(x) = x2 + bx + c,x ≤ 0, 2,x > 0, 若 f( − 4) = f(0)，f( − 2) =− 2，则关于 x 的方程 f(x) = x 的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第 3页 共 14页 ◎ 第 4页 共 14页 12. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式 为 y = 2x2 + 1，值域为{5, 19}的“孪生函数”共有( ) A.4 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 二、填空题 函数 f(x) = x − 2 + 1 x−3 的定义域是________． 已知函数 f x = 2x − 1，  x ≤ 0 , f x − 2 ，  x > 0 , 则 f 5 2 =________. 设全集 U = 2,3,a2 + a − 3 ，集合 A = |a|,3 ，ðUA = 2 ，则 a =________. 下列四个命题：①函数 f x = 1 x 在其定义域上是减函数；②若函数 f x = ax2 + bx + 2 与 x 轴没有交点，则 b2 − 8a < 0 且 a > 0；③f x = x2 − 2|x| + 1 的递增区间为[ − 1,0] ∪ [1, + ∞）；④y = 1 + x 和 y = 1 + x 2表示 不同函数；⑤函数 y = f x 在[ − 1,1)上是增函数，在 1,3 也是增函数，则函数 y = f x 在 − 1,3 上是增函 数．其中正确命题的序号是________. 三、解答题 已知集合 A = x| − 4 ≤ x < 3 ，函数 y = x − 2的定义域构成集合 B. (1)求 A ∩ B 和(∁ RA) ∪ B； (2)若 C = x|a < x < 2a + 1 ，且 C ⊆ ∁ RA ，求 a 的取值范围． 已知函数 f x = a − 2 x. (1)若 3f 1 = f 2 ，求 a 的值； (2)判断 f x 在 − ∞,0 上的单调性并用定义证明． 已知集合 A = x|x2 − 3x + 2 = 0 ，B = x|x2 + 2 a + 1 x − 5 − a2 = 0 . (1)若 2 ∈ A ∩ B ，求实数 a 的值； (2)若 A ∩ B = B，求实数 a 的取值范围． 已知二次函数 f x 满足： f 0 = 3 ，f x + 1 = f x + 2x. (1)求函数 f x 的解析式； (2)当 x ∈ − 1,1 时， g x = f x − 3x − 2，求 g x 的值域； (3)函数 y = f |x| 的图像与直线 y = a a ∈ R 的图像有 4 个交点，求实数 a 的范围． 第 5页 共 14页 ◎ 第 6页 共 14页 参考答案与试题解析 2020-2021 学年四川绵阳高一上数学月考试卷 一、选择题 1. 【答案】 D 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【解析】 化简集合 A，B，即可得到 A 与 B 的包含关系即可． 【解答】 解：由集合 A 中不等式变形得：2x − 3 < 3x，解得 x >− 3，即 A = x|x >− 3 ，B = x|x − 2 ≥ 0 = x|x ≥ 2 ， 故 B ⊂ A. 故选 D． 2. 【答案】 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【解析】 利用补集的定义求出∁ UB，再利用两个集合的交集的定义，求出 A ∩ (∁ UB)． 【解答】 解：∵ 全集 U = R，集合 A = {x| − 2 ≤ x ≤ 3}，B = {x|x <− 1 或 x > 4}， ∴ ∁ UB = {x| − 1 ≤ x ≤ 4}， ∴ A ∩ (∁ UB) = {x| − 1 ≤ x ≤ 3}. 故选 D． 3. 【答案】 B 【考点】 函数的求值 【解析】 令 x − 1 = 2，可得 x = 3，从而得到 f(2) = 32 − 3 = 6． 【解答】 解：令 x − 1 = 2，可得 x = 3，故 f(2) = 32 − 3 = 6. 故选 B． 4. 【答案】 C 【考点】 Venn 图表达集合的关系及运算 【解析】 阴影部分是 M ∪ P 的补集，其对应的集合为∁ U M ∪ P ,由集合的运算性质即可得解. 【解答】 解：由题意如图，阴影部分是 M ∪ P 的补集， 其对应的集合为∁ U M ∪ P ， 由集合的运算性质得∁ U M ∪ P = ∁ UM ∩ ∁ UP . 故选 C. 5. 【答案】 A 【考点】 判断两个函数是否为同一函数 【解析】 判断两个函数相同，主要依据看是两个函数的定义域与对应法则是否相同，由此规则对四个选项中的两个函 数的定义域与对应法则进行判断得出正确选项 【解答】 解：A 选项正确，由于 y = 3 x3 = x，两个函数的对应法则相同，且定义域都是 R，故正确； B 选项错误，两个函数的定义域不同，函数 y = x − 1 的定义域是 R，函数 y = x2 x − 1 的定义域是 x ≠ 0，故错误； C 选项错误，两个函数的定义域不同，y = ( x)2的定义域是 x ≥ 0，y = x2的定义域一个是 R，故错误； D 选项错误，两个函数的定义域不同，y = ( x)2的定义域是 x ≥ 0，y = x 的定义域是 R，故错误. 故选 A. 6. 【答案】 C 【考点】 函数的求值 【解析】 结合表格，先求出内函数式的函数值，再求出外函数的函数值即可． 【解答】 解：由表格得 g(1) = 0； ∴ f[g(1)] = f(0) = 1． 故选 C． 7. 【答案】 D 【考点】 子集与真子集 【解析】 求解二次不等式化简 A，然后可得集合 A 的真子集． 【解答】 解：因为 A = {x|x2 < 5x} = {x|0 < x < 5}， 所以选项中是集合 A = {x|x2 < 5x}的真子集的是(1, 5)． 故选 D． 8. 第 7页 共 14页 ◎ 第 8页 共 14页 【答案】 B 【考点】 函数的图象 【解析】 根据 x =− 3 和 x = 0 时函数的值排除即可得解. 【解答】 解：当 x =− 3 时，f( − 3) = ( − 3)2 − 2 × | − 3| − 3 = 0，排除 CD； 当 x = 0 时，f(0) = 0 − 2 × 0 − 3 =− 3，排除 A. 故选 B. 9. 【答案】 B 【考点】 映射 【解析】 根据映射的定义看集合 A 与集合 B 中的元素是否满足对应关系，从而对 A、B、C、D 四个选项进行一一判断 【解答】 解：集合 A = {x|0 ≤ x ≤ 4}，B = {y|0 ≤ y ≤ 2}， A，f:x → y = 1 2 x，∵ 若 0 ≤ x ≤ 4，∴ 0 ≤ y ≤ 2，故是 A 到 B 的映射； B，f:x → y = 2 3 x，∵ 若 x = 4，∴ y = 8 3 > 2，故不是 A 到 B 的映射 C，f:x → y = 1 3 x，∵ 若 0 ≤ x ≤ 4，∴ 0 ≤ y ≤ 4 3 < 2，故是 A 到 B 的映射； D，f:x → y = 1 8 x2，∵ 若 0 ≤ x ≤ 4，∴ 0 ≤ y ≤ 2，故是 A 到 B 的映射. 故选 B. 10. 【答案】 A 【考点】 函数单调性的性质 【解析】 利用 f(x)是定义在(0,  + ∞)上的单调增函数，且 f(x) > f(2 − x)，根据函数的单调性的定义，可得不等式组，从 而可得结论． 【解答】 解：∵ f(x)是定义在(0,  + ∞)上的单调增函数，且 f(x) > f(2 − x)， ∴ x > 0, 2 − x > 0, x > 2 − x. ∴ 1 < x < 2. 故选 A. 11. 【答案】 C 【考点】 分段函数的应用 分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】 由 f( − 4) = f(0)，f( − 2) =− 2 得关于 b 和 c 的两个方程，求出 b、c，再分 x ≤ 0 和 x > 0 两段，分别解方程 f(x) = x 即可． 【解答】 解：由题知 ( − 4)2 − 4b + c = c, ( − 2)2 − 2b + c =− 2, 解得 b = 4，c = 2. 故 f(x) = x2 + 4x + 2,x ≤ 0, 2,x > 0. 当 x ≤ 0 时，由 f(x) = x 得x2 + 4x + 2 = x， 解得 x =− 1 或 x =− 2. 即当 x ≤ 0 时，方程 f(x) = x 有 2 个解； 又当 x > 0 时，有 x = 2，方程 f(x) = x 有 1 个解. 综上所述，方程 f(x) = x 有 3 个解． 故选 C． 12. 【答案】 D 【考点】 函数的表示方法 函数的值域及其求法 函数的定义域及其求法 【解析】 读懂“孪生函数”的定义本题就很简单了，所谓的“孪生函数”无非就是利用相同的函数值和相同的解析式解个 方程罢了． 【解答】 解：令 2x2 + 1 = 5 得 x =± 2，令 2x2 + 1 = 19 得 x =± 3， 使得函数值为 5 的有三种情况，即 x =− 2， 2，± 2； 使得函数值为 19 的也有三种情况，即 x = 3，− 3，± 3. 则“孪生函数”共有 3 × 3 = 9 个． 故选 D． 二、填空题 【答案】 {x|x ≥ 2 且 x ≠ 3} 【考点】 函数的定义域及其求法 【解析】 由函数解析式可得 x ≥ 2 且 x ≠ 3，由此求得函数的定义域． 【解答】 解：由函数 f(x) = x − 2 + 1 x−3 的定义域可得 x ≥ 2 且 x ≠ 3， 第 9页 共 14页 ◎ 第 10页 共 14页 故函数 f(x) = x − 2 + 1 x−3 的定义域为{x|x ≥ 2 且 x ≠ 3}. 故答案为：{x|x ≥ 2 且 x ≠ 3}． 【答案】 − 4 【考点】 分段函数的应用 函数的求值 【解析】 直接分段函数求值即可. 【解答】 解：f 5 2 = f 5 2 − 2 = f 1 2 = f 1 2 − 2 = f − 3 2 = 2 × − 3 2 − 1 =− 4. 故答案为：− 4. 【答案】 3 【考点】 补集及其运算 元素与集合关系的判断 集合的含义与表示 【解析】 本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题，需要根据题意分情况讨论，同时注意集合的互异性， 属于中档题． 【解答】 解：由ðUA = 2 ，U = 2,3,a2 + a − 3 可知 A = 3,a2 + a − 3 ， 即{3,a2 + a − 3} = {|a|,3}， 故 a2 + a − 3 = |a|， |a| ≠ 2,3， 当 a ≥ 0 时，a2 + a − 3 = a ⇒ a = 3， 当 a < 0 时，a2 + a − 3 =− a， 即a2 + 2a − 3 = 0 ⇒ a − 1 a + 3 = 0， 故 a =− 3． 不满足|a| ≠ 2,3，故 a = 3． 故答案为： 3． 【答案】 ④ 【考点】 二次函数的图象 命题的真假判断与应用 函数的单调性及单调区间 判断两个函数是否为同一函数 【解析】 利用函数单调性的定义，函数与方程的关系，以及函数的定义逐个判断即可. 【解答】 解：①函数 f(x) = 1 x 在各自象限内是减函数，减区间为 − ∞,0 ， 0, + ∞ ，故①错误； ②函数 f(x) = ax2 + bx + 2 与 x 轴没有交点， 则 a = 0， b = 0， 或 a ≠ 0， b2 − 8a < 0， 故②错误； ③由于函数的单调区间不可用并集，故③错误； ④由于函数 y = (1 + x)2 = 1 + x ， 故与函数 y = 1 + x 的对应法则不一样， 所以 y = 1 + x 和 y = (1 + x)2不是同一函数，故④正确； ⑤由于 y = f(x)在区间[ − 1,1)，[1,3]上分别为增函数， 根据函数单调性的定义判断，只能说 y = f(x)的增区间为[ − 1,1)，[1,3]， 不可将两个区间合并，故⑤错误. 综上，正确序号为：④. 故答案为：④. 三、解答题 【答案】 解：(1)y = x − 2的定义域为 B = {x|x ≥ 2}， 则 A ∩ B = {x|2 ≤ x < 3}，∁ RA = {x|x <− 4 或 x ≥ 3}， ∴ (∁ RA) ∪ B = {x|x <− 4 或 x ≥ 2}． (2)C ⊆ (∁ RA)，当 C = ⌀ 时，a ≥ 2a + 1， ∴ a ≤− 1． 当 C ≠ ⌀ 时， a < 2a + 1， 2a + 1 ≤− 4， 或 a < 2a + 1， a > 3， ∴ a > 3． 综上 a ≤− 1 或 a > 3． 【考点】 集合关系中的参数取值问题 交、并、补集的混合运算 【解析】 (Ⅰ)暂无． (Ⅱ)暂无． 【解答】 解：(1)y = x − 2的定义域为 B = {x|x ≥ 2}， 则 A ∩ B = {x|2 ≤ x < 3}，∁ RA = {x|x <− 4 或 x ≥ 3}， 第 11页 共 14页 ◎ 第 12页 共 14页 ∴ (∁ RA) ∪ B = {x|x <− 4 或 x ≥ 2}． (2)C ⊆ (∁ RA)，当 C = ⌀ 时，a ≥ 2a + 1， ∴ a ≤− 1． 当 C ≠ ⌀ 时， a < 2a + 1， 2a + 1 ≤− 4， 或 a < 2a + 1， a > 3， ∴ a > 3． 综上 a ≤− 1 或 a > 3． 【答案】 (1)解：由 3f 1 = f 2 可得： 3 a − 2 = a − 1， 解得：a = 5 2 ． (2)证明：设x1 < x2 < 0， 则 f(x1) − f(x2) = ( 5 2 − 2 x1 ) − ( 5 2 − 2 x2 ) = 2 x2 − 2 x1 = 2(x1−x2) x1x2 ， 而x1x2 > 0，x1 − x2 < 0， ∴ f x1 − f x2 < 0 ， 即 f x1 < f x2 ， 故 f x 在 − ∞,0 上单调递增． 【考点】 函数单调性的判断与证明 函数的求值 【解析】 本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，属于基础题；证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值； ②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论，关键在于作差后的变形，对其因式分解，将其表示成符号确定 的几个因式乘积的形式． 本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，属于基础题；证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值； ②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论，关键在于作差后的变形，对其因式分解，将其表示成符号确定 的几个因式乘积的形式． 【解答】 (1)解：由 3f 1 = f 2 可得： 3 a − 2 = a − 1， 解得：a = 5 2 ． (2)证明：设x1 < x2 < 0， 则 f(x1) − f(x2) = ( 5 2 − 2 x1 ) − ( 5 2 − 2 x2 ) = 2 x2 − 2 x1 = 2(x1−x2) x1x2 ， 而x1x2 > 0，x1 − x2 < 0， ∴ f x1 − f x2 < 0 ， 即 f x1 < f x2 ， 故 f x 在 − ∞,0 上单调递增． 【答案】 解：(1) ∵ A = {1,2}，2 ∈ (A ∩ B)， ∴ 2 ∈ B， ∴ 22 + 4(a + 1) − (5 − a2) = 0， ∴ a =− 1 或 a =− 3； 检验知： 当 a =− 1 时，x2 − 4 = 0，∴ B = { − 2,2}；适合(A ∩ B) = 2 ； 当 a =− 3 时，x2 − 4x + 4 = 0，∴ x1 = x2 = 2，B = {2}；适合(A ∩ B) = 2 . 实数 a 的值为− 1 或− 3. (2)当 A ∩ B = B 时，B ⊆ A， 从而 B 可能是⌀ ， 1 ， 2 ， 1,2 ． 当 B = ⌀ 时：Δ < 0，a <− 3； 当 B = 1 时： Δ = 0， 1 + 2(a + 1) − (5 − a2) = 0， ⇒ a ∈ ⌀ ； 当 B = 2 时： Δ = 0， 4 + 4(a + 1) − (5 − a2) = 0， ⇒ a =− 3； 当 B = 1,2 时： Δ > 0， 1 + 2 =− 2(a + 1)， 1 × 2 = a2 − 5， ⇒ a ∈ ⌀ ， 综上可得：{a|a ≤− 3}. 【考点】 集合关系中的参数取值问题 集合的包含关系判断及应用 【解析】 (1)暂无． (2)暂无． 【解答】 解：(1) ∵ A = {1,2}，2 ∈ (A ∩ B)， ∴ 2 ∈ B， ∴ 22 + 4(a + 1) − (5 − a2) = 0， ∴ a =− 1 或 a =− 3； 检验知： 当 a =− 1 时，x2 − 4 = 0，∴ B = { − 2,2}；适合(A ∩ B) = 2 ； 当 a =− 3 时，x2 − 4x + 4 = 0，∴ x1 = x2 = 2，B = {2}；适合(A ∩ B) = 2 . 实数 a 的值为− 1 或− 3. (2)当 A ∩ B = B 时，B ⊆ A， 从而 B 可能是⌀ ， 1 ， 2 ， 1,2 ． 当 B = ⌀ 时：Δ < 0，a <− 3； 当 B = 1 时： Δ = 0， 1 + 2(a + 1) − (5 − a2) = 0， ⇒ a ∈ ⌀ ； 当 B = 2 时： Δ = 0， 4 + 4(a + 1) − (5 − a2) = 0， ⇒ a =− 3； 第 13页 共 14页 ◎ 第 14页 共 14页 当 B = 1,2 时： Δ > 0， 1 + 2 =− 2(a + 1)， 1 × 2 = a2 − 5， ⇒ a ∈ ⌀ ， 综上可得：{a|a ≤− 3}. 【答案】 解：(1)设 f x = ax2 + bx + c， 则 f x + 1 = a x + 1 2 + b x + 1 + c. ∵ f 0 = 3， ∴ c = 3． ∵ f x + 1 = f x + 2x， ∴ 2ax + a + b = 2x， ∴ 2a = 2，a + b = 0， ∴ a = 1，b =− 1 ， ∴ f x = x2 − x + 3． (2)由(1)可得 g x = f x − 3x − 2 = x2 − 4x + 1， ∵ g x 的对称轴 x = 2 > 1，且图象开口向上， ∴ g x 在 − 1,1 上单调递减，且 g 1 =− 2，g − 1 = 6， ∴ g x 的值域为 − 2,6 ． (3)依题意，f x = x2 − x + 3， ∴ y = f |x| = x2 − x + 3,x ≥ 0 x2 + x + 3,x < 0 ， ∴ y = f |x| = (x − 1 2 )2 + 11 4 ,x ≥ 0 (x + 1 2 )2 + 11 4 ,x < 0 . 作出函数 y = f(|x|)的图像和直线 y = a 的大致图像，如图所示， 因为函数 y = f |x| 的图像与直线 y = a 有 4 个交点， ∴ 11 4 < a < 3． 【考点】 由函数零点求参数取值范围问题 函数解析式的求解及常用方法 函数的值域及其求法 【解析】 (1)答案未提供解析． (2)答案未提供解析． (3)答案未提供解析． 【解答】 解：(1)设 f x = ax2 + bx + c， 则 f x + 1 = a x + 1 2 + b x + 1 + c. ∵ f 0 = 3， ∴ c = 3． ∵ f x + 1 = f x + 2x， ∴ 2ax + a + b = 2x， ∴ 2a = 2，a + b = 0， ∴ a = 1，b =− 1 ， ∴ f x = x2 − x + 3． (2)由(1)可得 g x = f x − 3x − 2 = x2 − 4x + 1， ∵ g x 的对称轴 x = 2 > 1，且图象开口向上， ∴ g x 在 − 1,1 上单调递减，且 g 1 =− 2，g − 1 = 6， ∴ g x 的值域为 − 2,6 ． (3)依题意，f x = x2 − x + 3， ∴ y = f |x| = x2 − x + 3,x ≥ 0 x2 + x + 3,x < 0 ， ∴ y = f |x| = (x − 1 2 )2 + 11 4 ,x ≥ 0 (x + 1 2 )2 + 11 4 ,x < 0 . 作出函数 y = f(|x|)的图像和直线 y = a 的大致图像，如图所示， 因为函数 y = f |x| 的图像与直线 y = a 有 4 个交点， ∴ 11 4 < a < 3．