- 2.61 MB
- 2021-05-11 发布
第六节 直线与圆锥曲线的位置关系
知识点一
直线与圆锥曲线的位置线
1.
直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量
y
(
或
x
)
得变量
x
(
或
y
)
的方程：
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0(
或
ay
2
＋
by
＋
c
＝
0).
(1)
若
a
≠
0
，可考虑一元二次方程的判别式
Δ
，有：
①
Δ
>0
⇔
直线与圆锥曲线
；
②
Δ
＝
0
⇔
直线与圆锥曲线
；
③
Δ
<0
⇔
直线与圆锥曲线
.
(2)
若
a
＝
0
，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点
.
相交
相切
相离
2.
圆锥曲线的弦长问题
3.
弦中点问题
对于弦中点问题常用
“
根与系数的关系
”
或
“
点差法
”
求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是
Δ
≥
0.
►
一个方法：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
.
►
一个易错点：忽略直线的斜率不存在致误
.
(2)
[
解决直线与圆锥曲线相交
，
相切
，
相离等问题时
，
一定要注意直线垂直于
x
轴的情形
，
此时直线的斜率不存在；以免漏解
]
直线
l
过定点
P
(0
，
1)
且与抛物线
y
2
＝
2
x
只有一个公共点，则直线
l
的方程为
________.
答案
x
＝
0
或
y
＝
1
或
x
－
2
y
＋
2
＝
0
1.
曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线
C
(
看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹
)
上的点与一个二元方程
f
(
x
，
y
)
＝
0
的实数解建立了如下的关系：
(1)
曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)
以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
.
知识点二 曲线与方程
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
.
求动点的轨迹方程一般步骤
——
“
建、设、列、代、证
”
(1)
建系
——
建立适当的坐标系
.
(2)
设点
——
设轨迹上的任一点
P
(
x
，
y
).
(3)
列式
——
列出动点
P
所满足的关系式
.
(4)
代入
——
依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为
x
，
y
的方程式，并化简
.
(5)
证明
——
证明所求方程即为符合条件的动点的轨迹方程
.`
2.
圆锥曲线的综合问题
(1)
最值问题：可结合数形结合或转化为函数最值或线性规则问题
.
(2)
定值问题：先求出表达式，再化简，据已知条件列出方程
(
或不等式
)
，消参
.
(3)
对参数的取值范围问题：据已知条件建立等式或不等式或函数关系，求参数的范围
.
(4)
对称问题：若
A
，
B
两点关于直线对称，则直线
AB
与对称轴垂直，且线段
AB
的中点在对称轴上，即对称轴是线段
AB
的垂直平分线
.
解决对称问题应注意条件的充分利用，尤其是各量之间的关系
.
(5)
存在性问题：一般采用
“
假设反证法
”
或
“
假设验证法
”
来解决
.
另外，也可先用特殊情况或特殊位置得到所求的值，再给出一般性的证明，即由特殊到一般的方法
.
►
五种方法：求曲线或轨迹方程方法
.
(3)
[
①
直接法
(
五步法
)
；
②
定义法；
③
相关点法
(
代入法
)
；
④
参数法；
⑤
交轨法
]
已知点
P
是直线
2
x
－
y
＋
3
＝
0
上的一个动点，定点
M
(
－
1
，
2)
，
Q
是线段
PM
延长线上的一点，且
|
PM
|
＝
|
MQ
|
，则
Q
点的轨迹方程是
________.
解析
由题意知
，
M
为
PQ
中点
，
设
Q
(
x
，
y
)
，
则
P
为
(
－
2
－
x
，
4
－
y
)
，
代入
2
x
－
y
＋
3
＝
0
得
2
x
－
y
＋
5
＝
0.
答案
2
x
－
y
＋
5
＝
0
►
两点注意：求轨迹方程要注意以下两点
.
(4)
[
①
求轨迹方程时
，
要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系
.
检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义
.
②
求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求
，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等
.
]
已知
△
ABC
的顶点
B
(0
，
0)
，
C
(5
，
0)
，
AB
边上的中线长
|
CD
|
＝
3
，则顶点
A
的轨迹方程为
________.
最值与范围问题求解方略
求范围的方法同求最值及函数的值域的方法类似
(1)
求最值常见的解法有两种：代数法和几何法
.
若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值
.
(2)
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题
.
解决圆锥曲线中的取值范围问题的
5
种常用解法
(1)
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围
.
(2)
利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系
.
(3)
利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围
.
(4)
利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围
.
(5)
利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围
.
(1)
求椭圆的离心率；
(2)
设椭圆左焦点为
F
1
，若
∠
AF
1
B
为钝角，求椭圆长轴长的取值范围
.
[
点评
]
本题考查椭圆的简单性质
，
考查了直线与圆锥曲线的位置关系
，
涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题
，
常采用联立直线方程和圆锥曲线方程
，
化为关于
x
的一元二次方程后
，
利用根与系数的关系求解
.
定点与定值问题求解方略
解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程，要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线系方程，如果是双参数，要注意这两个参数之间的相互关系
.
解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确，即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变化的量所影响的一个值，就是要求的定值
.
解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量
.
(1)
假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2)
从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意
.
定点问题常见的
2
种解法
定值问题常见的
2
种求法
(1)
从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
.
(2)
直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
.
(1)
求椭圆的标准方程；
(2)
若
E
，
F
是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线
PE
，
PF
的斜率都存在，并记为
k
PE
，
k
PF
时，
k
PE
·
k
PF
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
.
[
点评
]
圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型
，
运算量较大
，
解题思维性较强
.
解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式
，再
根据已知条件列出方程组
(
或不等式
)
，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证
.
探究性问题是指结论或条件不完备的试题，这类试题不给出确定的结论，让考生根据题目的条件进行分析判断，从而得出确定的结论，对分析问题、解决问题的能力有较高的要求，是高考压轴的热点题型
.
圆锥曲线中的探索性问题突破方略
解决方案
圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答
.
(1)
求椭圆
C
的方程；
(2)
在椭圆
C
上，是否存在点
M
(
m
，
n
)
，使得直线
l
：
mx
＋
ny
＝
1
与圆
O
：
x
2
＋
y
2
＝
1
相交于不同的两点
A
，
B
，且
△
OAB
的面积最大？若存在，求出点
M
的坐标及相对应的
△
OAB
的面积；若不存在，请说明理由
.
[
点评
]
1.
探索性问题答题模板：
第一步：假设结论存在
.
第二步：结合已知条件进行推理求解
.
第三步：若能推出合理结果
，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设
.
第四步：反思回顾
，
查看关键点、易错点及解题规范
.
2
.
本题是圆锥曲线中的探索性问题
，
也是最值问题
，
求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点
，
通常是先建立一个目标函数
，
然后利用函数的单调性或基本不等式求最值
.
圆锥曲线中的对称问题
[
方法
总结
]
圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点
，
该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体
，
符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点
，
此类试题综合性强
，但难度适中，对数学知识和能力的考查具有一定的深度，具有很好的选拔功能
.
圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法
.