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- 2021-05-11 发布
数学试题
（时间：120 分钟总分：150 分）
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选择项中,只
有一项是符合题目要求的.请将选择题答案填入答题栏内)
1.下列对应是 A 到 B 上的映射的是（ ）
A. B.
C. D.
的平方根
【答案】B
【解析】
【分析】
根据映射的定义，判断出选项 B 对应为映射
【详解】选项 A， ，不符合映射定义；
选项 B,任取一个 是唯一确定的值，等于 1 或者-1，
均为集合 B 的元素，故正确；
选项 C， 按照对应法则在 B 中不存在元素与之对应，
故不正确；
选项 D，集合 A 中的元素按照对应法则在集合 B 中存在两个
元素与之对应，故不正确.
故选:B
【点睛】本题考查映射的定义，属于基础题.
2.已知全集 ， ， ，则 =（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求 ，接着按照交集的定义，即可求得结果.
* *, , : | 3|A N B N f x x= = → −
*, { 1,1, 2}, : ( 1)xA N B f x= = − − → − 3, , :A Z B Q f x x
= = →
*, , :A N B R f x x= = →
3 ,| 3 3| 0A B∈ − = ∉
,( 1)aa A∈ −
0 ,A∈
{1,2,3,4,5,6}U = {1,2,3}A = {2,3,4}B = ( )UA C B∩
{2,3} {5,6} {1} {1,2,3,4}
UC B
【详解】 ， ， ，
.
选项:C
【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.
3.函数 + 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
按照函数有意义限制的条件，即可求出答案.
【详解】函数有意义须， ，解得 且 ，
故选:B
【点睛】本题考查求函数的定义域，属于基础题.
4.下列四个函数中，与 表示同一函数的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数 与 不同，所以函数 与 不是同一函数；函数
与 不同，所以函数 与 不是同一函数；函数 与
不同，所以函数 与 不是同一函数；函数 与 定义
域、值域、对应关系都相同，函数 与 表示同一函数，故选 C.
【方法点睛】本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，
属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经
常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是
【
{1,2,3,4,5,6}U = {2,3,4}B = {1,5,6}UC B =
( ) {1}UA C B∴ ∩ =
3 2y x= − 0( 1)x +
3( , )2
−∞ 3( , 1) ( 1, ]2
−∞ − ∪ − 3( , ]2
−∞ 3( , )2
+∞
3 2 0
1 0
x
x
− ≥
+ ≠
3
2x≤ 1x ≠ −
y x=
( )2
y x= 2y x= 3 3y x=
2xy x
=
( )2
y x= y x= 定义域 ( )2
y x= y x=
2xy x
= y x= 定义域
2xy x
= y x= 2y x=
y x= 值域 2y x= y x= 3 3y x x= = y x=
3 3y x x= = y x=
否都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
5.设 是奇函数，则 值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. －1．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义，可求出 的值.
【详解】 是奇函数,所以任取 ，
恒成立，
即 .
故选:A
【点睛】本题考查奇函数的定义，属于基础题.
6.已知函数 则 f(2)=（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数自变量的限制条件，代入即可.
【详解】函数 所以 .
故选:C
【点睛】本题考查求分段函数的函数值，属于基础题.
7.下列函数中，在区间 上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
的3( )f x x a= + a
a
3( )f x x a= + x∈R
( ) ( )f x f x− = −
3 3 , 0x a x a a− + = − − ∴ =
( ) 1, 1 ,3, 1
x xf x x x
+ ≤= − + >
( ) 1, 1 ,3, 1
x xf x x x
+ ≤= − + >
( )2 1f =
(0,1)
y x= 3y x= −
1y x
= 2 4y x= − +
【解析】
【详解】解析:
A 项，因为 ，显然 在 上是增函数，故 A 项正确
B 项，在 上为减函数，故 B 项不正确；
C 项，在区间 和 上为减函数，故 C 项不正确；
D 项，在 上为减函数，故 D 项不正确,
故选 A.
8.函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出被开方数 的范围，即可求出函数的值域.
【详解】 , .
故选:B
【点睛】本题考查函数的值域，属于基础题.
9.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ,那么 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 是定义在 上的奇函数，所以 .
考点：奇函数的定义 .
10.若函数 是定义在 R 上的减函数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
, 0
0
x xy x x x
≥= = − < ，
y x= (0, )+∞
2( ) 1f x x= +
[0, )+∞ [1, )+∞ (0, )+∞ (1, )+∞
2 1x +
2 1 1x + ≥ 2( ) 1 1f x x∴ = + ≥
( )f x R 0x > ( ) 2 3xf x = − ( 2)f −
1− 11
4 1 11
4
−
( )f x R 2( 2) (2) (2 3) 1f f− = − = − − = −
( ) ( )f x f x− = −
(3 1) 4 , 1( ) { , 1
a x a xf x ax x
− + <= − ≥ a
1 1
8 3
，
1 1
8 3
， 1(0 )3
， 1, 3
−∞
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数各段为减函数且在结合点处也递减列不等式组，解得 取值范围.
【详解】因为 是定义在 R 上的减函数，所以 .选
B.
【点睛】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
11.若函数 同时满足:
①对于定义域上的任意 ,恒有 ；
②对于定义域上的任意 ,当 时,恒有 ；
则称函数为“理想函数”.给出下列三个函数：（1） （2） （3）
，其中能被称为“理想函数”的有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
满足① 为奇函数，满足② 在定义域内是减函数，对（1）（2）（3）中的三个函数逐
个判断，即可得结果.
【详解】对于①对于定义域上的任意 ,恒有 ；
则有 ，故满足条件① 为奇函数；
对于②对于定义域上的任意 ,当 时，
不妨设 ，恒有 ，
的a
( )f x
1
3 1 0 3 1 1{ 0 { 0 8 33 1 4 1
8
aa
a a a
a a a a
<− <
− < ∴ > ∴ ≤ <
− + ≥ − ≥
( )f x
x ( ) ( ) 0f x f x+ − =
1 2,x x 1 2x x≠ 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
− <−
1( )f x x
= 2( )f x x=
2
2
, 0( )
, 0
x xf x
x x
− ≥= <
( )f x ( )f x
x ( ) ( ) 0f x f x+ − =
( ) ( )f x f x− = − ( )f x
1 2,x x 1 2x x≠
1 2x x> 1 2
1 2
( ) ( ) 0f x f x
x x
− <−
，
故满足②条件的函数 是在定义域内是减函数；
所以“理想函数”即为定义域内是减函数且为奇函数.
（1） ，在定义域不是减函数，故不是；
（2） 不是奇函数，故不是；
（3） ，
，所以为奇函数，
作出其图像，函数在定义域内是减函数，故为“理想函数”.
故选:A
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性，注意运用定义法是解
题的关键，属于中档题.
12.设 是定义在 R 上的奇函数, ,当 时, 是增函数,且对任意的
,都有 ,则函数 在 上的最大值是（ ）
A. 3 B. 4 C. -3 D. -4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得 在 上是增函数，故 在 上的最大值是 ，当
时, 是增函数,且对任意的 ,都有 ,求出 ，再根据
是定义在 R 上的奇函数，即可求出答案.
1 2
1 2 1 2
1 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) 0f x f xf x f x x xx x
−− = × − <−
( )f x
1( )f x x
=
2( )f x x=
2
2
, 0( )
, 0
x xf x x x
x x
− ≥= = − <
( ) | | | | ( )f x x x x x f x− = − = = −
( )f x (1) 2f = 0x > ( )f x
,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( )f x [ 3, 2]− −
( )f x [ 3, 2]− − ( )f x [ 3, 2]− − ( 2)f − 0x >
( )f x ,x y R∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (2)f
( )f x
【详解】 是定义在 R 上的奇函数,当 时, 是增函数,
故 在 上是增函数，
在 上的最大值是
当 时,对任意的 ,
都有
，
是定义在 R 上的奇函数,
.
故选:D
【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.
二．填空题:（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，请将选择题答案填入答题栏内）
13.已知 ＝2x－5，且 f(a)＝6，则 a＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，令 2x﹣5=6，求出 x 的值，再计算对应 a 的值．
【详解】∵f（ x﹣1）=2x﹣5，且 f（a）=6，
∴令 2x﹣5=6，
解得 x= ，
∴a= × ﹣1= ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
14.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____________ .（用区间
作答）
【答案】
( )f x 0x > ( )f x
( )f x [ 3, 2]− −
( )f x [ 3, 2]− − ( 2)f −
0x > ,x y R∈
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = +
(2) (1) (1) 2 (1) 4f f f f= + = =
( )f x
( 2) (2) 4f f∴ − = − = −
1( 1)2f x −
7
4
1
2
11
2
1
2
11
2
7
4
7
4
( )f x [ 2,4)− (2 4)f x −
[1,4)
【解析】
【分析】
根据复合函数的关系， 中的自变量 的范围，与 中的 的范围一致，即
可求出答案.
【详解】函数 的定义域为 ，
函数 的定义域须满足，
，
所以函数 的定义域为 .
故答案为:
【点睛】本题考查复合函数的定义域，属于基础题.
15.如果函数 在区间 上是递增的，那么实数 的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线图像特征，须对称轴在区间 的左侧，即可求出结果
【详解】函数 的对称轴方程为 ，
在区间 上是递增的，故 .
故答案为:
【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题.
16.已知函数 是定义在 上的奇函数，给出下列命题：
① ，
②若 在 上有最小值-1，则 在 上有最大值 1，
③若 在 上为增函数，则 在 上为减函数，
④若 时， ，则 时， .
( )f x x (2 4)f x − 2 4x −
( )f x [ 2,4)−
(2 4)f x −
2 2 4 4, 1 4x x− ≤ − < ∴ ≤ <
(2 4)f x − [1,4)
[1,4)
2( ) 2 2f x x ax= − + [ )4,+∞ a
4a ≤
[ )4,+∞
2( ) 2 2f x x ax= − + x a=
( )f x [ )4,+∞ 4a ≤
4a ≤
( )f x R
( )0 0f =
( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ],0−∞
( )f x [ )1,+∞ ( )f x ( ], 1−∞ −
0x > ( ) 2 2f x x x= − 0x < ( ) 2 2f x x x= − −
其中正确的序号是： ________________．
【答案】①②④
【解析】
定义在 上的奇函数，有 ，①正确； 在 上有最小值-1，由奇函数图象
关于原点对称知， 在 上有最大值，②正确；若 在 上为增函数，由
奇函数图象关于原点对称知， 在 上也为增函数；③错误；若 ，则
， ， 函 数 为 奇 函 数 ， 则
，④正确．故本题应填①②④．
点睛：本题主要考查函数的奇偶性,单调性.奇,偶函数首先要满足定义域关于原点对称,否则
为非奇非偶函数,其次,若满足 , , 中的一条,
则函数为奇函数,或满足 , , 中的一条,则函数为
偶函数.求函数的单调性或单调区间一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及要
求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区间不连续时不能用并
集符号连接.特别是对于奇函数，图象关于原点对称，对于偶函数，图象关于 轴对称．
三、解答题:（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.设 ， ．
（1）求 的值及集合 、 ；
（2）设全集 ，求 的所有子集．
【答案】: （1） , ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，2 是 两方程的根，代入求出 ，即可
求出集合 、 ，并验证 是否成立；
（2）先求出 ，即可求出所有子集.
R ( )0 0f = ( )f x [ )0,+∞
( )f x ( ],0−∞ ( )f x [ )1,+∞
( )f x ( ], 1−∞ − 0x <
0x− > ( ) ( ) ( )2 22 2f x x x x x− = − − − = +
( ) ( ) 2 2f x f x x x= − = − −
( ) ( )f x f x− = − ( )( ) 0f x f x+ − = ( )
( ) 1f x
f x
− = −
( ) ( )f x f x− = ( )( ) 0f x f x− − = ( )
( ) 1f x
f x
− =
y
{ }2 22 0}, { 3 0A x x ax B x x x b= + + = = + + = {2}A B =
a b， A B
U A B= ∪ ( ) ( )U UC A C B
3, 10a b= − = − {1,2}, { 5,2}A B= = − ,{ 5},{1}{ 5,1}∅ − −
2 22 0, 3 0x ax x x b+ + = + + = a b，
A B {2}A B =
( ) ( )U UC A C B
【详解】 ，2 是
两方程的解，代入方程解得 ，此时
并且 满足条件，
故 ， ；
（2） ，
，
所有的子集有: .
【点睛】本题考查了集合间的交、并、补的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键，
属于中档题.
18.已知函数 ．
（ ）用定义证明 在 上是增函数．
（ ）若 在区间 上取得最大值为 ，求实数 的值．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
试题分析:(1)用定义法证明函数为增函数;(2)由第一问的单调性可得,在 x=4 处取到最大值,
代入即可.
试题解析:
（ ）设任意 ， ，且 ，
则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
{2}A B = 2 22 0, 3 0x ax x x b+ + = + + =
3, 10a b= − = −
{ }{ } { }2 23 2 0} 1,2 , { 3 10 0 5,2A x x x B x x x= − + = = = + − = = −
{2}A B =
3, 10a b= − = − {1,2}, { 5,2}A B= = −
{ 5,1,2}, { 5}, {1}U UU A B C A C B= = − = − =
( ) ( ) { 5,1}U UC A C B = −
,{ 5},{1}{ 5,1}∅ − −
1 1( ) ( 0, 0)f x a xa x
= − > >
1 ( )f x (0, )+∞
2 ( )f x 1 ,42
5 a
4
21a =
1 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x<
( ) ( ) 1 2
1 2
1 2
x xf x f x x x
−− = ⋅
1 20 x x< <
1 2 0x x− < 1 2 0x x⋅ >
( ) ( )1 2 0f x f x− <
即 ，
故 在 上是增函数．
（ ） 在区间 上是增函数，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
点睛: 证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取 ，并且 （或
）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为
止）；（3）定号：判断 的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）
下结论：根据定义得出其单调性.
19.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x≤0 时， f(x)＝－x＋1
(1)求 f(0)，f(2)；
(2)求函数 f(x) 解析式；
(3)若 f(a－1)<3，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）3； （2） ； （3）(-1，3).
【解析】
【分析】
(1 )将 代入解析式可得 ，利用函数奇偶性的性质即可求 的值；
(2)令 ，则 ，求得 ，根据函数奇偶性的性质即可求函数 )的
解析式；(3)由 ，根据函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为
，利用绝对值不等式的解法可求实数 的取值范围.
【详解】(1)因 当 x≤0 时，f(x)＝－x＋1 所以 f(0)＝1.
又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以
f(2)＝f(－2)＝—(－2)＋1＝3，即 f(2)＝3.
的
为
( ) ( )1 2f x f x<
( )f x ( )0,+∞
2 ( ) 1 1f x a x
= − 1 ,42
( ) ( )max4 5f f x= =
( ) 1 14 54f a
= − =
4
21a =
1 2,x x 1 2x x>
1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x−
1 2( ) ( )f x f x−
1, 0( ) 1, 0
x xf x x x
− + ≤= + >
0, 2x x= = − ( ) ( )0 , 2f f − ( )2f
0x > 0x− < ( ) 1f x x− = + ( )f x
( ) ( )1 3 2f a f− < =
1 2a − < a
(2)令 x>0，则－x<0，
从而 f(－x)＝x＋1＝f(x)，
∴x>0 时，f(x)＝x＋1
∴函数 f(x)的解析式为
,
(3)由函数图像可得
∴f(x)＝－x＋1 在(－∞，0]上为减函数．
又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
∵f(a－1)<3＝f(2)，∴|a－1|<2，解得-1
1
2
( ) ( )0 2f f=
[ ]2 , 1m m + m
( )f x ( ) ( )0 2f f=
1x =
( )f x
( ) ( )21 1f x a x= − + ( )0a >
∵ 代入可得
∴
∴
化简可得
(2) 根据 在区间 内不单调,可知对称轴在区间 内
二次函数对称轴为
所以
解不等式可得
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数单调性与对称轴的关系,属于基础题.
21.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题
所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理
想的状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接收概
念的能力（ 的值越大，表示接受能力越强）， 表示提出和讲授概念的时间（单位：分
钟），可以有以下公式：
(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
【答案】（1）开讲 10 钟后，学生的接受能力最强，能维持 6 分钟；（2）开讲 5 分钟时学生
的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些.
【解析】
【分析】
（1）求出分段函数各段的函数值的范围，即可得结论；
（2）通过计算 与 的大小，即可得结论.
【详解】（1）依题意，当 时，
，
故 在 单调递增，最大值为 ；
( )0 3f = 1 3a + =
2a =
( ) ( )22 1 1f x x −= +
( ) 22 4 3f x x x− +＝
( )f x [ ]2 , 1m m + [ ]2 , 1m m +
1x =
2 1 1m m< < +
0 1
2m< <
( )f x
( )f x x
2-0.1 2.6 43,(0 10)
( ) 59,(10 16)
3 107,(16 30)
x x x
f x x
x x
+ + < ≤
= < ≤
− + < ≤
(5)f (20)f
0 10x< ≤
2 2( ) 0.1 2.6 43 0.1( 13) 59.9f x x x x= − + + = − − +
( )f x (0,10] (10) 59f =
当 时， ；
当 时， 是减函数，
且 .
因此开讲 10 钟后，学生的接受能力最强，能维持 6 分钟.
（2） ，
.
所以开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些.
【点睛】本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法
的积累，属于中档题.
22.已知 对任意的实数 都有 ，且当 时，有
（1）求 ；
（2）求证： 在 R 上为增函数；
（3）若 ，解关于 的不等式 .
【答案】（1） ;（2）见详解;（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用赋值法， 代入 ，即可求出 ；
（2）设 是 的任意实数，且 ，令 ，通过函数的单调性定义即
可证明 在 R 上为增函数；
（3）有条件可求 ，结合 在 R 上为增函数，不等式化为 ，解不等
式即可求得结论.
【详解】（1）令 ， ，解得 ；
（2）设 是 的任意实数，且 ，令 ，
则 ， ，
由 ，得 ，
10 16x< ≤ ( ) 59f x =
16 30x< ≤ ( ) 3 107f x x= − +
( ) 59f x <
2(5) 0.1(5 13) 59.9 53.5f = − − + =
(20) 3 20 107 47 53.5f = − × + = <
( )f x .m n ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n+ = + − 0x > ( ) 1f x >
(0)f
( )f x
(6) 7f = x 2(3 2) ( ) 3f x f x x− + − <
(0) 1f = ( ,1) (3, )−∞ +∞
0m n= = ( ) ( ) ( ) 1f m n f m f n+ = + − (0)f
1 2,x x R 1 2x x< 2 1 1,m x x n x= − =
( )f x
(1) 2f = ( )f x 2 4 2 1x x− + − <
0m n= = (0) 2 (0) 1f f= − (0) 1f =
1 2,x x R 1 2x x< 2 1 1,m x x n x= − =
2 2 1 1( ) ( ) ( ) 1f x f x x f x= − + − 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 1f x f x f x x− = − −
1 2x x< 2 1 2 10, ( ) 1x x f x x− > ∴ − >
，
所以 在 R 上为增函数；
（3） ，
，
，
因为 在 R 上为增函数，原不等式等价于
，即 ，
解得 或 ，
不等式的解集为 .
【点睛】.
本题考查抽象函数，及其函数的单调性和不等式的解法，解题的关键要对条件等式的合理应
用，属于中档题.
2 1 1 2( ) ( ) 0, ( ) ( )f x f x f x f x− > ∴ <
( )f x
(6) (3) (3) 1 2 (3) 1 7, (3) 4f f f f f= + − = − = ∴ =
(3) (2) (1) 1 2 (1) 1 (1) 1 3 (1) 2 4f f f f f f= + − = − + − = − =
(1) 2f∴ =
2 2(3 2) ( ) ( 4 2) 1 3f x f x x f x x− + − = − + − + <
2( 4 2) 2 (1)f x x f∴ − + − < =
( )f x
2 4 2 1x x− + − < 2 4 3 0x x− + >
1x < 3x >
( ,1) (3, )−∞ +∞