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- 2021-05-11 发布
大冶一中2020届高三年级第三次调研考试文科数学试题
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在草稿纸上无效；考试结束，将答题卡交回。
4.满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1.已知集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
3.设命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.
4.若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
5.设为等差数列的前项和，若，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得
，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为，
根据题中的条件可得，
整理解得，所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
6.设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵
∴−=3(−)；
∴=−.
故选A.
7.已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量比较，运用中间量比较
【详解】则
．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
8.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由于，，且，
故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除， 故选B．
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除
9.设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.
【详解】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.
故选D.
【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
10.已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】
分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
11.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）
A. 672 B. 673 C. 1346 D. 2019
【答案】C
【解析】
【分析】
求出已知数列除以2所得的余数，归纳可得是周期为3的周期数列，求出一个周期中三项和，从而可得结果.
【详解】由数列各项除以2的余数，
可得为，
所以是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为，
因为，
所以数列的前2019项的和为，
故选C.
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
12.已知函数 在区间上单调，且在区间内恰好取得一次最大值2，则取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数恒等变换的应用化简得f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数含原点的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可得 ，得 ，进而得解．
【详解】=2sinωx，
∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．
又∵函数在[]上递增，
∴[﹣，]⊇[]，
∴得不等式组：﹣≤，且≤，
又∵ω＞0，
∴0＜ω≤ ，
又函数在区间[0，2π]上恰好取得一次最大值，
根据正弦函数的性质可知 且
可得ω∈[，．综上：ω∈
故选B．
【点睛】本题主要考查正弦函数图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题共85分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13.已知向量，，．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14.若函数为偶函数，则 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．
15.已知函数在点处的切线方程为，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由f（x）＝aex+b，得f'（x），因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，故（0，f（0））适合方程y＝2x+1，且f′（0）＝2；联立可得结果．
【详解】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex，
因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，
所以解得a＝2，b＝﹣1．
a﹣b＝3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题．
16.如图，为了测量两座山峰上，两点之间的距离，选择山坡上一段长度为且和，两点在同一平面内的路段的两个端点作为观测点，现测得，，则，两点间的距离为________ .
【答案】900
【解析】
【分析】
根据题意作出简图，标注已知条件中的数据，反应边、角之间的关系，再运用平面几何知识得到三角形全等，得出，再在中，，从而得出，两点间的距离.
【详解】根据题意作出示意图如下图所示，
由已知得，又，
，又为公共边，，，
在中，，
故，
所以两点间的距离为，
故填：900.
【点睛】本题考查在实际问题中解三角形，问题关键是将实际问题中的数据标注到数学问题中的几何图形中，运用解三角形的相关定理求解，属于基础题.
三、解答题（本大题共6个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.
试题解析：（1）由已知可得
（2）
又
，
的周长为
考点：正余弦定理解三角形.
18.己知向量 ， ，其中，记函数
，且最小正周期；
(1)求函数的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)利用两个向量的数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，再根据正弦函数的周期性，求得的值，可得的表达式；(2)利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域.
【详解】由向量，其中，
记 得
，
，
所以
（Ⅱ）由已知，
当 时，，
所以，
故，即的值域为 .
【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
19.已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．
（1）若，为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）若，分别求出成立的等价条件，利用为真命题，求出的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【详解】由，得，
（1）若，则：，
若为真，则，同时为真，
即，解得，
∴实数的取值范围.
（2）由，得，解得.
即：.
若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
则必有，此时：，.
则有，即，
解得.
【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键.
20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
【答案】（1）
（2）3333辆/小时
【解析】
（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为
（2）依题并由（1）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（1）函数v（x）的表达式
（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
21.若数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和．
【答案】(1) 或.
(2) .
【解析】
【详解】分析：（1），即或，或；(2) 由，可得，，利用裂项相消法求和即可.
详解： （1）当时，，则
当时，，
即或
∴或或
（2）由，∴，
∴
22.设函数.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
分析】
（1）对函数进行求导，判断其在单调递增，在单调递减，从而得到最大值为；
（2）求出函数，，则其导数小于等于在恒成立，进而求出的取值范围；
（3）方程有唯一实数解，设，利用导数研究函数的图象特征，设为方程的唯一解，得到，把方程组转化成，再利用导数研究该方程的根，最后根据根的唯一性，得到与的关系，再求出正数的值.
【详解】（1）依题意，知的定义域为，
当时，，
令，解得.
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减.
所以的极大值为，此即为最大值.
（2），，则有，在上恒成立，所以，.
当时，取得最大值，所以.
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则.
令，，
因为，，所以（舍去），，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
当时，，取最小值.
则，即，
所以，
因为，所以
设函数，
因为当时，是增函数，所以至多有一解，
又，所以方程的解为，即，解得.
【点睛】本题考查函数与导数的应用，即利用导数研究函数的最值、函数的单调性，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，求解第（3
）问的关键在于方程根唯一性的理解，从而得到关于的方程.