2020-2021学年高一数学上册课时同步练：函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 5页

第三单元 函数 第 23 课 函数的零点及其与方程、不等式解集之间的关系 一、基础巩固 1．函数 f(x)＝x2－5x－6 的零点是( ) A．2,3 B．－2,3 C．6，－1 D．－6,1 【答案】C 【解析】令 x2－5x－6＝0，得 x1＝6，x2＝－1.选 C. 2.函数 y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数 y＝f(|x|)的零点的个数为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于 y 轴对称． ∵当 x＞0 时，有三个零点，∴当 x＜0 时，也有三个零点．又因为 0 是 y＝f(|x|)的一个零点，故共 有 7 个零点． 3．已知 f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( ) A．函数 f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点 B．函数 f(x)在(3,5)内无零点 C．函数 f(x)在(2,5)内有零点 D．函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点 【答案】C 【解析】唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数 f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可 能没有． 4．已知不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( ) A．[－4,4] B．(－4,4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【答案】A 【解析】由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4. 5．二次不等式 ax2＋bx＋1＞0 的解集为       x －1＜x＜1 2 ，则 ab 的值为( ) A．－6 B．－2 C．2 D．6 【答案】C 【解析】由题意知方程 ax2＋bx＋1＝0 的实数根为－1 和1 2，且 a＜0， 由根与系数的关系得    －b a＝－1＋1 2， 1 a＝－1×1 2， 解得 a＝－2，b＝－1，所以 ab＝2.故选 C. 6．若函数 f(x)＝x2－ax－b 的两个零点是 2 和 3，则函数 g(x)＝bx2－ax－1 的零点是________． 【答案】－1 2，－1 3 【解析】依题意知方程 x2－ax－b＝0 的两个根是 2 和 3，所以有 a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝ －6，因此 g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－1 2和－1 3. 7．若 f(x)＝x＋b 的零点在区间(0,1)内，则 b 的取值范围为________． 【答案】(－1,0) 【解析】∵f(x)＝x＋b 是增函数，又 f(x)＝x＋b 的零点在区间(0,1)内， ∴   f0＜0， f1＞0， ∴   b<0， 1＋b>0. ∴－10， f4<0 或   m<0， f4>0， 即   m>0， 26m＋38<0 或   m<0， 26m＋38>0， 解得－19 130， 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程 f(x)＝x 的解的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由已知   16－4b＋c＝c， 4－2b＋c＝－2， 解得   b＝4， c＝2. ∴f(x)＝   x2＋4x＋2，x≤0， 2， x>0. 当 x≤0 时，方程为 x2＋4x＋2＝x， 即 x2＋3x＋2＝0， ∴x＝－1 或 x＝－2； 当 x>0 时，方程为 x＝2， ∴方程 f(x)＝x 有 3 个解． 14．在 R 上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1 对任意的实数 x∈R 恒成 立，则实数 a 的取值范围为________． 【答案】 －1 2，3 2 【解析】∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)， ∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1， 即(x－a)(1－x－a)＜1 对任意实数 x 恒成立， 即 x2－x－a2＋a＋1＞0 对任意实数 x 恒成立， 所以 Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－1 2＜a＜3 2. 15．设二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数 F(x)＝f(x)－x 的两个零点为 m，n(m＜n)． (1)若 m＝－1，n＝2，求不等式 F(x)＞0 的解集； (2)若 a＞0，且 0＜x＜m＜n＜1 a，比较 f(x)与 m 的大小． 【答案】（1）见解析；（2）f(x)＜m 【解析】(1)由题意知 a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当 m＝－1，n＝2 时，不等式 F(x)＞0， 即 a(x＋1)·(x－2)＞0. 当 a＞0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{x|x＜－1 或 x＞2}； 当 a＜0 时，不等式 F(x)＞0 的解集为{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为 a＞0，且 0＜x＜m＜n ＜1 a，所以 x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以 f(x)－m＜0，即 f(x)＜m.