中原名校2020届高三下学期质量考评一数学（理）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com ‎2019-2020学年高三第二学期质量考评数学试卷(理科)‎ 一､选择题 ‎1.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算，化简得到，再结合复数的表示，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据复数的运算，可得，‎ 所对应的点为位于第四象限.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别化简集合,再求并集即可 ‎【详解】‎ ‎，则 故选：A ‎【点睛】本题考查指数不等式及对数不等式求解，考查集合的并集运算，是基础题 ‎3.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）‎ - 25 -‎ A. 平均数为20，方差为4 B. 平均数为11，方差为4‎ C. 平均数21，方差为8 D. 平均数为20，方差为8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.‎ ‎【详解】样本的平均数是10，方差为2，‎ 所以样本的平均数为,方差为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.‎ ‎4.已知向量，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量，，，则，即，或者-1，判断出即可．‎ ‎【详解】解：向量，，‎ ‎，则，即，‎ 或者-1，‎ 所以是或者的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎5.已知角的终边经过点，则的值是　　‎ - 25 -‎ A. 1或 B. 或 C. 1或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求得后可得结论．‎ ‎【详解】由题意得点与原点间的距离．‎ ‎①当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎②当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 综上可得的值是或．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r，然后再根据三角函数的定义求解即可．‎ ‎6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.‎ - 25 -‎ ‎【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，‎ 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，‎ 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，‎ 综上可得甲被录用了，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.‎ ‎7.根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )‎ A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1‎ C. 对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D. 若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；‎ 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；‎ 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；‎ 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8.已知，满足条件（为常数），若目标函数 - 25 -‎ 的最大值为9，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由目标函数的最大值为9，我们可以画出满足条件 件为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数的方程组，消参后即可得到的取值．‎ ‎【详解】画出，满足的为常数）可行域如下图：‎ 由于目标函数的最大值为9，‎ 可得直线与直线的交点，‎ 使目标函数取得最大值，‎ 将，代入得：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组 - 25 -‎ ‎，代入另一条直线方程，消去，后，即可求出参数的值．‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.‎ ‎【详解】三棱锥的实物图如下图所示：‎ 将其补成直四棱锥，底面，‎ 可知四边形为矩形，且，.‎ 矩形的外接圆直径，且.‎ 所以，三棱锥外接球的直径为，‎ 因此，该三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选：C.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 8 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，‎ 则，，设 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：‎ ‎，‎ 则 ‎ ‎ 当且仅当时，取等号.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.‎ ‎11.若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 25 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.‎ ‎【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.‎ ‎12.已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数，分当，，将问题转化为 - 25 -‎ 的零点问题，用数形结合的方法研究.‎ ‎【详解】当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，‎ 当时，，令 当时，，在上单调递增，‎ 当时，，在上单调递减，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 因为在上有3个零点，‎ 所以当时，有2个零点，‎ 如图所示：‎ 所以实数的取值范围为 综上可得实数的取值范围为，‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.‎ - 25 -‎ 二､填空题(共4小题)‎ ‎13.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和．‎ ‎【详解】由的展开式中只有第六项的二项式系数最大，‎ 所以展开式中共有11项，所以；‎ 令，可求得展开式中各项的系数和是：‎ ‎．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.‎ ‎14.中，角的对边分别为，且成等差数列，若，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A，B，C成等差数列得出B＝60°，利用正弦定理得进而得代入三角形的面积公式即可得出．‎ ‎【详解】∵A，B，C成等差数列，∴A+C＝2B，‎ 又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．‎ 故由正弦定理 ，故 ‎ - 25 -‎ 所以S△ABC，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，三角形的面积公式，考查正弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎15.割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率．现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可．‎ ‎【详解】半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，‎ ‎∴该正十二边形的面积为，‎ 根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎16.已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.‎ ‎【详解】是抛物线准线上的一点 ‎ 抛物线方程为 ，准线方程为 过作准线的垂线，垂足为，则 ‎ ‎ 设直线的倾斜角为，则 当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切 - 25 -‎ 设直线的方程为，代入得：‎ ‎，解得： 或 双曲线的实轴长为，焦距为 双曲线的离心率 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.‎ 三､解答题(共5小题，)‎ ‎17.设数列的前项和为，且，数列满足，点在上， ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】由可得，‎ 两式相减得，．‎ - 25 -‎ 又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．‎ 由点在直线上，所以．‎ 则数列是首项为1，公差为2的等差数列．则 因为，所以．‎ 则，‎ 两式相减得：．‎ 所以．‎ ‎【点睛】用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.‎ ‎18.如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。‎ ‎（1）证明：平面；‎ - 25 -‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；‎ ‎（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接.‎ ‎∵，∴为的中点.‎ 又为的中点，∴.‎ 依题意可知，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴，从而.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），且，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 以为原点，所在直线为轴，过作平行于直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，‎ - 25 -‎ 则，，，，，‎ ‎，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 从而，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.‎ - 25 -‎ ‎19.第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：‎ 组别 频数 ‎5‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎45‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；‎ ‎（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.‎ ‎（参考数据：；；.）‎ ‎【答案】（1），，；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；‎ ‎（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．‎ - 25 -‎ ‎【详解】解：（1）由已知频数表得：，‎ ‎，‎ 由，则，‎ 而，所以，‎ 则X服从正态分布，‎ 所以；‎ ‎（2）显然，，‎ 所以所有Y的取值为15，30，45，60，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ ‎60‎ P 所以，‎ - 25 -‎ 需要的总金额为：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.‎ ‎【详解】（1）面积的最大值为，则：‎ 又，，解得：，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形 设，，线段的中点为 由，消去可得：‎ - 25 -‎ ‎，解得：‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 依题意有，‎ 由可得：，可得：‎ 由可得：‎ ‎，‎ 代入上式化简可得：‎ 则：，解得：‎ 当时，点满足题意；当时，点满足题意 故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值.‎ ‎【详解】（1），，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴切线方程为，即.‎ ‎（2）令，‎ ‎，‎ ‎①若，则在上单调递减，又，‎ ‎∴恒成立，∴在上单调递减，又，‎ ‎∴恒成立.‎ ‎②若，令，‎ ‎∴，易知与在上单调递减，‎ ‎∴在上单调递减，，‎ 当即时，在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，即在上单调递减，‎ 又，∴恒成立，∴在上单调递减，‎ - 25 -‎ 又，∴恒成立，‎ 当即时，使，‎ ‎∴在递增，此时，∴，‎ ‎∴在递增，∴，不合题意.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标是.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程及点到直线的距离；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）极坐标方程为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；‎ ‎（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积.‎ ‎【详解】（1）由消去，‎ - 25 -‎ 得到，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 所以直线的极坐标方程为.‎ 点到直线的距离为.‎ ‎（2）由，‎ 得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 则的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）按进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为在时恒成立，按和分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的 - 25 -‎ 的范围，再取交集，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，等价于 或或，‎ 解得或或，‎ 所以不等式的解集为：.‎ ‎（2）依题意即在时恒成立，‎ 当时，，即，‎ 所以对恒成立 ‎∴，得；‎ 当时，，‎ 即，‎ 所以对任意恒成立，‎ ‎∴，得∴，‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎ ‎ - 25 -‎ - 25 -‎