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- 2021-05-11 发布
第2讲 运动学方法总结
教师版说明：本讲涉及公式和图象的内容比较多，因此例题数量较多，老师可以灵活掌握以下进度，或者选讲一些例题。
我们已经学过处理匀变速直线运动的基本方法其包括：⑴ 利用基本公式；⑵ 利用推论公式；⑶ 利用图象。其中，前两种方法都属于公式法，是解决匀变速直线运动的基本方法。图象法是研究物理问题时，常用的数学方法，恰当的使用图象法有时可以简化问题。本讲我们对这些方法进行复习、巩固和拓展。
2.1 公式法
知识点睛
1．匀变速直线运动基本公式
在描述匀变速直线运动时，我们用到的基本物理量包括初速度、末速度、加速度、时间、位移，共5个。上述4个基本公式中，只有2个是独立的（由任意两个公式可以推出另外两个），因此，对每个运动过程，必须知道其中的3个量才能求出另外2个量。
仔细观察上述基本公式可以发现：每个公式都只涉及4个物理量（有一个物理量不出现），知道其中的3个可以求出另外的1个。因此，在解决问题时，应该分清哪些是已知量、哪些是所求量，选择合适的公式，可以减少运算量。
教师版说明：每个公式中出现5个物理量中的4个，应该一共有5个公式。上述4个基本公式中，第1个不出现、第2个不出现、第3个不出现、第4个不出现，除此之外，还应该有一个不出现的公式：，只不过这个公式我们一般不用而已。
提示：
⑴ 将减速到零的匀减速直线运动等效看成反向的初速度为零的匀加速直线运动处理，有时会减少运算量。
⑵ 解物理题不同于解数学题，要注意解的合理性。在解决刹车问题时，首先应判断出刹车时间，再求解其它相关问题。
2．匀变速直线运动两个推论公式
⑴ 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，即
⑵ 在连续相等的时间间隔内的位移之差为恒定值，。
拓展：（物体连续通过段位移，通过每段位移的时间均为，为第段的位移长度，为第段的位移长度）
提示：这两个结论在处理纸带数据（或同类问题，比如频闪照片等）时经常用到，可快速求出某点的瞬时速度和加速度。
教师版说明：如果学生没有学过暑期课程或者不了解纸带实验，老师可以重新讲一下这个公式。扩展公式在暑期课程用到过，老师根据学生情况决定是否要重新推一遍。
例题精讲
例题说明：例1考察速度公式、位移公式；例2是刹车问题，需要判断刹车时间，同时用到减速可以看成反向加速的思想，考察的主要是速度公式和位移公式；例3考察速度、位移关系；例4考察平均速度；例5考察两个推论；例6为纸带问题；例7是纸带问题的变式，考察两个推论
【例1】 一滑块在斜面上从静止开始做匀加速直线运动，如果在前内的位移为，求：
⑴ 物体的加速度
⑵ 前内的位移和第内的位移
⑶ 第初和第末的速度
【解析】 ⑴ 依题意，，由，得
⑵ 前内的位移：
第内的位移：
⑶ 第初的速度即第末的速度：学 ]
第末的速度：
【答案】 ⑴
⑵ 前内的位移，第内的位移
⑶ 第初的速度，第末的速度
【例1】 一辆汽车刹车前速度为，刹车获得的加速度大小为，求：
⑴ 汽车开始刹车后内，滑行的距离；
⑵ 从开始刹车到汽车位移为时，所经历的时间；
⑶ 汽车静止前内滑行的距离。
【答案】
【例2】 物体的初速度为，以不变的加速度做直线运动，如果要使速度增加到初速度的倍，则经过的位移是
A． B． C． D．
【答案】 A
【例3】 一个滑雪的人，从长的山坡上匀变速滑下，初速度是，末速度是，求他通过这段山坡所需时间
【解析】 由，解得
【答案】
教师版说明：例5考察两个推论，是一道难度较大的题，如果老师需要一个简单的做铺垫，可以用下面这个中值速度的题。（学生版没有）
一物体作匀加速直线运动，通过一段位移所用的时间为，紧接着通过下一段位移所用的时间为。则物体运动的加速度为
A． B． C． D．
【答案】 A
【例4】 做匀变速直线运动的物体在连续的两个内通过的位移之比是，且第一个末的瞬时速度为，求该物体的加速度。
【答案】
【例5】 图为接在低压交流电源上的打点计时器，在纸带做匀加速直线运动时打出的一系列点，图中所标的是每个点所取的记数点，但第个记数点没有画出，则该物体运动的加速度为 ，间的距离约为 。
【解析】 每两个计数点间的时间间隔，由，解得。
。
【答案】 ，
教师版说明：下面再补充一道纸带变式的问题，与例7是同类问题，可以再例7之前讲。
一质点做匀加速直线运动，初速度未知，物理课外实验小组的同学们用固定在地面上的频闪照相机对该运动进行研究．已知相邻的两次闪光的时间间隔为，发现质点在第次到第次闪光的时间间隔内移动了，在第次到第次闪光的时间间隔内移动了，则仅仅由此信息还是不能推算出
A．质点运动的加速度
B．第到第次闪光时间间隔内质点的位移大小
C．第次闪光时质点速度的大小
D．质点运动的初速度
【答案】 D
【例1】 如图所示，是用某监测系统每隔拍摄火箭起始加速阶段的一组照片。已知火箭的长度为，现在用刻度尺测量照片上的长度关系，结果如图所示。请你估算火箭的加速度和火箭在照片中第个像所对应时刻的瞬时速度大小。
【解析】 由题图中火箭的长度可以看出照片比例为
火箭第个内的位移为
第个内的位移为
由得
第个像所对应的时刻是第个像至第个像的中间时刻所以
【答案】
教师版说明：讲义中没有讲位移中点速度的公式，如果老师觉得重要，可以选讲一下这个公式，让学生练习自己推导即可，同时练习一下基本公式。
质点通过一段位移，若它的初速度为，末速度为，那么质点运动到时，速度大小为 。
【解析】 由，，联立解得
【答案】
挑战极限
例题说明：例8是对公式的综合运用，需要合理选择公式，才能解决问题。例9需要学生根据表格数据分析清楚物体的运动过程，判断出最大速度对应的时刻（最大速度时刻不在表格中列出的时刻中），才能正确计算，对学生能力要求较高，有一定难度。
【例2】 一质点沿直线作匀加速直线运动，，是直线上的三点，，若段的平均速度是，在段的平均速度是，质点过点时速度为多少？
【答案】
【例3】 因测试需要，一辆汽车在某雷达测速区沿平直路面从静止开始匀加速一段时间后，又接着做匀减速运动直到最后停止。下表中给出了雷达每隔记录的汽车速度数值。
时刻
速度
由表中数据可知：汽车在测试过程中的最大速率为 ；汽车在该区域行驶的总位移为 。
【答案】 ，
教师版说明：下面在补充一道挑战极限的题目，不过这道题情况较多，需要花较长的时间，如果学生有兴趣，可以让学生想一下。（此题学生版没有）
一位旅客可用三种方法从常州到苏州旅游：第一种是乘普客汽车经国道到达；第二种方法是乘快客汽车经沪宁高速公路到达；第三种方法是乘火车到达；下面是三种车的发车时刻及里程表，已知普客汽车全程平均时速为，快客汽车全程平均时速为，两车途中均不停站，火车在中途需停靠无锡站，设火车进站和出站都做匀变速直线运动，加速度大小是，途中匀速行驶，速率为。若在时刻是上午，这位旅客想早点到达苏州，请你通过计算说明他该选择乘什么车？
普客汽车
快客汽车
火车
里程／
班次
……
……
……
提示：普客汽车到站时刻为；快客汽车到站时刻为；火车到站时刻为
【答案】 选择乘火车
2.2 图象法
知识点睛
图象法是物理学中处理问题的一种重要的方法。图象由于能更直观地表示出物理过程和各种物理量之间的相互关系，因而在解题过程中被广泛的应用。在运动学问题中，我们主要应用的是图象和图象。不同的图象对应不同的规律，形状类似的图象在不同的坐标系中表示的物理规律不同，因此应用图象时，要看清纵、横坐标代表何种物理量。
位移图像与速度图象比较
比较问题
图象
图象
图象
其中④为抛物线
其中④为抛物线 学 ]
物理意义
反映的是位移随时间的变化规律
反映的是速度随时间的变化规律
坐标轴
横轴表示时间，纵轴表示位移
横轴表示时间，纵轴表示速度
点
表示某时刻质点的位移
表示某时刻质点的速度
线
表示一段时间内质点位移的变化情况
表示一段时间内质点速度的变化情况
斜率
斜率的大小表示速度的大小；
斜率的正负表示速度的方向
斜率的大小表示加速度的大小；
斜率的正负表示加速度的方向
截距 学
初始时刻的位移
初始时刻的速度
图象与坐标轴所围“面积”
无实际意义
表示相应时间内的位移
两条图线交点
两质点相遇（从坐标可读出对应的时刻和位移）
两质点在此时刻速度相等（从坐标可读出对应的时刻和速度）
物体的运动性质
①
从正位移处开始做反向匀速直线运动并越过零位移处
先做正向匀减速运动，再做反向匀加速运动，加速度大小不变
②
物体静止不动
物体做正向匀速直线运动，加速度为零
③
物体从零位移开始做正向匀速运动
物体从静止做正向匀加速直线运动
④
物体做正向匀加速直线运动
物体做正向的加速度增大的加速运动
注意：
⑴ 物体的图象和运动轨迹是不同的两个概念。
⑵ 物体图象和图象只能描述一维运动。
提示：当我们遇到多运动过程或运动情景复杂的问题、含有比值的问题、初速度为零的问题时，使用图象法可能会简化问题。
例题精讲
例题说明：例10、例11考察图读取信息；例12考察图读取信息，例13利用图解决问题；例14、例15考察、、图相互转化，其中例15实际也是利用图象简化问题；例1
6考察图象法简化问题。
【例1】 如图所示为质点、在同一直线上沿同一方向运动的图象。则
A．时，在的前面
B．在时刻追上，此后在的前面
C．时间内的速度比大
D．时间内的速度比小，以后的速度超过的速度
【答案】 AB
教师版说明：例11的易错点之一是容易把图象和轨迹弄混，如果老师想强调这个问题，可以用下面这道题（学生版中没有）。
某同学为研究物体运动情况，绘制了物体运动的x－t图象，如图所示。图中纵坐标表示物体的位移x，横坐标表示时间t，由此可知该物体做
A．匀速直线运动
B．变速直线运动
C．匀速曲线运动
D．变速曲线运动
【答案】 B
【例2】 如图所示，为甲、乙、丙三个物体相对同一位置的位移图象，它们向同一方向开始运动，则在时间内，下列说法正确的是
A．它们的平均速度相等
B．甲的平均速度最大
C．它们的平均速率相等
D．乙和丙的平均速率相等
【答案】 AD
【例3】 如图为一物体沿直线运动的速度图象，由此可知
A．末物体返回出发点
B．末物体运动方向改变
C．末与的加速度大小相等，方向相反
D．内物体的位移为零
【答案】 CD
【例4】 一列车沿直线轨道从静止出发由地驶向地，并停在地，列车做加速运动时，其加速度的最大值为；做减速运动时，其加速度的绝对值得最大值为，要让列车由地到地所用的时间最短，图中列车的图象应是（其中，）
【解析】 要求列车先加速，最后减速停在地，故可排除A、B选项。速度图线的面积表示通过的位移。而列车通过的总位移是一定的，如图所示，可以看出，列车匀速运动阶段历时越短，则总时间越短，故D选项正确
【答案】 D
【例1】 某物体做直线运动的图象如图甲所示，据此判断图乙（表示物体加速度，表示物体的位移）四个选项中正确的是
【答案】 B
教师版说明：这里补充一道由图确定图的问题，可以作为例15的铺垫（学生版没有此题）
物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间的变化规律如图所示，取开始运动方向为正方向，则物体运动的图像中正确的是
【答案】 C
【例2】 汽车由静止开始在平直的公路上行驶，内汽车的加速度随时间变化的图线如图所示。
⑴ 画出汽车在内的图线；
⑵ 求这内汽车行驶的路程。
【解析】 ⑴ 由图象知：
内物体做初速度为零的匀加速直线运动，，10s末的速度；
内物体做匀速直线运动；
内物体做匀减速直线运动，，60s末的速度。
⑵ 由图象知，60s内的位移：。
【答案】 ⑴ ⑵
教师版说明：下面补充一道可以应用图象法解的问题，但这道题难度不大，且与例15由类似的地方，所以老师可以选讲。（学生版没有此题）
某大厦的电梯从一层载客后启动，先以的加速度匀加速上升，历时，然后保持速度不变匀速上升，历时，接着电梯开始制动改做匀减速运动，经过正好停在第层电梯口。试计算此大厦层楼的高度。
【解析】 依题意，作出此电梯运动全过程的图象，如图所示。所求层楼的高度。
【答案】
【例1】 一颗子弹沿水平方向射来， 恰穿透固定在水平面上三块相同的木板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则子弹穿过三块木板所用的时间之比
【解析】
【答案】
挑战极限
例题说明：这道题的图线不是通常见到的图象，对学生来说有一定难度。 ]
【例2】 是一条平直公路边上的两块路牌，一辆匀速行驶的小车由右向左经过路牌时，一只小鸟恰自路牌向匀速飞去，小鸟飞到小车正上方立即折返，以原速率飞回，过一段时间后，小车也行驶到。它们的位置与时间的关系如图所示，图中，由图可知
A．小鸟的速率是汽车速率的两倍
B．相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是
C．小鸟飞行的总路程是汽车的倍
D．小鸟和小车在时间内位移相等
【答案】 BC