2018届二轮复习（文）　函数与方程思想、数形结合思想课件（全国通用） 15页

第 2 讲　函数与方程思想 、 数 形结合思想 一、函数与方程思想 - 3 - 高考对函数与方程思想的考查频率较高 , 在高考的各题型中都有体现 , 特别在解答题中 , 从知识网络的交汇处 , 从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查 . - 4 - - 5 - 应用 一 应用二 应用三 应用一 　 函数与方程思想在解三角形中的应用   例 1 (2017 辽宁沈阳一模 , 文 11 ) 为了竖一块广告牌 , 要制造三角形支架 , 如图 , 要求 ∠ ACB= 60°, BC 的长度大于 1 m, 且 AC 比 AB 长 0 . 5 m , 为了稳固广告牌 , 要求 AC 越短越好 , 则 AC 最短为 ( D ) - 6 - 应用 一 应用二 应用三 解析 : 设 BC 的长度为 x m, AC 的长度为 y m , 思维升华 函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题 ( 不一定只是函数问题 ), 构造函数解题是函数思想的一种主要体现 ; 方程思想的本质是根据已知得出方程 ( 组 ), 通过解方程 ( 组 ) 解决问题 . - 7 - 应用 一 应用二 应用三 突破训练 1 (1 ) ( 2017 河北邯郸一模 , 文 5 ) 已知 △ ABC 的三个内角 A , B , C 依次成等差数列 , BC 边上的中线 AD = , AB= 2, 则 S △ ABC 等于 ( C ) 解析 : 由于 △ ABC 的三个内角 A , B , C 成等差数列 , 且内角和等于 180°, ∴ B= 60° . ∵ 在 △ ABD 中 , 由余弦定理可得 AD 2 =AB 2 +BD 2 - 2 AB·BD· cos B , 即 7 = 4 +BD 2 - 2 BD , ∴ BD= 3 或 - 1( 舍去 ), 可得 BC= 6, - 8 - 应用 一 应用二 应用三 (2) 在 △ ABC 中 , D 为 BC 边上一点 , DC= 2 BD , AD = , ∠ ADC= 45°, 若 AC= AB , 则 BD 等于 ( C ) 解析 : 在 △ ADC 中 , AC 2 =AD 2 +DC 2 - 2 AD·DC· cos 45° - 9 - 应用一 应用二 应用三 应用二 　 函数与方程思想在不等式中的应用   例 2 当 x ∈ [ - 2,1] 时 , 不等式 ax 3 -x 2 + 4 x+ 3 ≥ 0 恒成立 , 则实数 a 的取值范围是 [ - 6, - 2] 　 .  - 10 - 应用一 应用二 应用三 综上 , 实数 a 的取值范围是 [ - 6, - 2 ] . 思维升华 1 . 在解决不等式问题时 , 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 , 利用函数的图象和性质解决问题 . 2 . 函数 f ( x ) > 0 或 f ( x ) < 0 恒成立 , 一般可转化为 f ( x ) min > 0 或 f ( x ) max < 0; 已知恒成立求参数范围可先分离参数 , 再利用函数最值求解 . - 11 - 应用一 应用二 应用三 突破训练 2 设 f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 当 x< 0 时 , f' ( x ) g ( x ) +f ( x ) g' ( x ) > 0, 且 g ( - 3) = 0, 则不等式 f ( x ) g ( x ) < 0 的 解集是 ( - ∞ , - 3) ∪ (0,3) 　 .  解析 : 设 F ( x ) =f ( x ) g ( x ), 由于 f ( x ), g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 , 得 F ( -x ) =f ( -x ) ·g ( -x ) =-f ( x ) ·g ( x ) =-F ( x ), 即 F ( x ) 在 R 上为奇函数 . 又当 x< 0 时 , F' ( x ) =f' ( x ) ·g ( x ) +f ( x ) g' ( x ) > 0, 所以当 x< 0 时 , F ( x ) 为增函数 . 因为奇函数在对称区间上的单调性相同 , 所以当 x> 0 时 , F ( x ) 也是增函数 . 可知 F ( x ) 的大致图象如图 . 因为 F ( - 3) =f ( - 3) g ( - 3) = 0 =-F (3), 所以 , 由图可知 F ( x ) < 0 的解集是 ( -∞ , - 3) ∪ (0,3) . - 12 - 应用一 应用二 应用三 应用三 　 函数与方程思想在数列中的应用   例 3 已知公差不为 0 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S 7 = 70, 且 a 1 , a 2 , a 6 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; - 13 - 应用一 应用二 应用三 故数列 { b n } 的最小项是第 4 项 , 该项的值为 23 . 思维升华 因为数列是自变量为正整数的函数 , 所以根据题目条件构造函数关系 , 把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路 . - 14 - 应用一 应用二 应用三 A .- 3 B .- 1 C . 3 D . 1 - 15 - 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面 : (1) 借助有关初等函数的性质 , 解有关求值、解 ( 证 ) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题 ; (2) 在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数 , 把研究的问题化为讨论函数的有关性质 , 达到化难为易、化繁为简的目的 .