- 1.39 MB
- 2021-05-11 发布
高一10月月考数学试题
一、选择题（共60分，每题5分）
1.设集合，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：依题意.
考点：集合的运算
【此处有视频，请去附件查看】
2.已知函数，则( )
A. 32 B. C. 16 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题.
3.设M为非空的数集，M⊆{7,8,9,10}，且M中至少含有一个偶数元素，则这样的集合M共有( )
A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合子集个数公式求解满足题意的集合个数即可.
【详解】由题意可知，集合M的非空子集个数为个，
不含有偶数的集合的个数为个，故满足题意的集合的个数为.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查子集个数公式及其应用，属于基础题.
4.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出A，B集合，即可选出答案．
【详解】A集合：或
B集合：
根据不等式关系知．
选A
【点睛】本题主要考查集合与集合之间的关系，属于基础题．
5.若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A. 1 B. 2 C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】
由于函数为奇函数，则，化简后可求得的值.
【详解】依题意得，由于函数为奇函数，故，即，对比可得，故选.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.在利用奇偶性来解题时，主要把握的是，或者.属于基础题.
6.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先将转换为同为2为底的指数，，可以转换为指数相同．所以．
【详解】因为，，所以，故选A．
【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.
3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.
规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．
7.已知函数（其中是圆周率，），则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数，且 B. 是奇函数，且
C. 是偶函数，且 D. 是奇函数，且
【答案】B
【解析】
，故函数是奇函数；又是减函数，则是增函数，所以是增函数，
故，选B.
8. 已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为 （ ）
A. 2a＋3 B. 2a＋6 C. 6－2a D. 6
【答案】D
【解析】
因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6，故选D.
考点：奇函数的性质及最值
9.函数在的图像大致为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由解析式研究函数的性质奇偶性、特殊函数值的正负，可选择正确的图象．
【详解】易知函数（）是偶函数，图象关于轴对称，可排除BD，
时，，可排除A．
故选C．
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是由解析式分析函数的性质，如单调性、奇偶性、函数的极值、最值、特殊值、函数的值的正负等等．
10.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
是定义在上的偶函数，
，即，
则函数的定义域为
函数在上为增函数，
故两边同时平方解得，
故选
11.已知函数是R上增函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.
【详解】要使函数在R上为增函数，须有在上递增，在上递增，
所以，解得.
故选D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.
12.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数的图象，不妨令，则．结合图象可得，从而可得结果．
【详解】画出函数的图象如图所示．
不妨令，则，则．
结合图象可得，故．
∴．选B．
【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
二、填空题（共20分，每题5分）
13.函数（，）的图象恒过定点，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
因为当时，，所以函数图象恒过点，故填.
14.若函数是偶函数，则该函数的定义域是_______________．
【答案】
【解析】
因为函数是偶函数，则函数的定义域 解得 故函数的定义域为.
及答案为.
15.若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.
【答案】0或1
【解析】
【分析】
根据B⊆A，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a的范围；
【详解】∵B⊆A，
若B=∅，则a=0；
若B≠∅，则因为若2∈B，∴2a﹣2=0，∴a=1，
若3∈B，则3a﹣2=0，∴a=，∵a∈Z，∴a≠，
∴a=0或1，
故答案为a=0或1．
【点睛】此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a是整数．
16.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】答案：
【解析】
【分析】
先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性，再根据单调性化简不等式，最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，解得结果.
【详解】由为奇函数，.
设，，，即，故，
从而 ，
故不等式同解于，
又为上的单调增函数，故，
即对任意的恒成立，，即或.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.
三，解答题（共70分）
17.已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由题意，代入，得到集合，利用交集的运算，即可得到答案；
（2）由题意，集合，分和两种情况讨论，即可得到答案.
【详解】（1）由题意，代入，求得结合，
所以.
（2）因为
①当，解得，此时满足题意.
②，则
则有，
综上：或.
【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.计算
（1）
（2）已知：，求
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用根式与指数幂的运算性质直接求解即可；
(2)利用分数指数幂的运算性质，运算法则和完全平方式求解即可.
【详解】原式；
；
；
；
；
；
．
【点睛】本题考查了根式，分数指数幂的运算性质，是基础题.
19.已知函数，若在区间上有最大值1．
（1）求的值；
（2）若在上单调，求数的取值范围．
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．
【详解】因为函数的图象是抛物线，，
所以开口向下，对称轴是直线，
所以函数在单调递减，
所以当时，，
因为，，
所以，
，
在上单调，
，或.
从而，或
所以，m的取值范围是.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.
20.已知函数，且
（1）求a,b的值
（2）判断单调性，并用定义证明你的结论；
（3）求的最大值和最小值．
【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）最大值3，最小值
【解析】
【分析】
(1)由 利用待定系数法直接求解即可；
(2)根据单调性的定义即可证明函数的单调性；
（3）由(2)可得函数在区间上是减函数，进而可得函数f（x）的最值
【详解】（1）
（2）在区间上是减函数
证明：设，是区间上的任意两个实数，且,
则
由，得，，
于是，即
所以，函数是区间上的减函数
（3）由函数在区间上是减函数，
所以当时，取最大值；
当时，取最小值．
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，单调性的定义，根据单调性求函数的最值，是基础题.
21.设函数的定义域为（﹣3，3），满足，且对任意，都有当时，，．
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）若函数求不等式解集．
【答案】（1）-4（2）单调递减（3）（0，2]．
【解析】
试题分析：（1）通过赋值法，令x＝2，y＝1代入即得；
（2）利用单调性定义证明即可；
（3）由奇函数条件得到f(x－1)≤f(2x－3)，结合单调性和定义即可解得.
试题解析：
(1)在f(x)－f(y)＝f(x－y)中，
令x＝2，y＝1，代入得：f(2)－f(1)＝f(1)，所以f(2)＝2f(1)＝－4.
(2)f(x)在(－3,3)上单调递减．证明如下：
设－30，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(－3,3)上单调递减．
(3)由g(x)≤0得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
所以f(x－1)≤－f(3－2x)．
又f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x－1)≤f(2x－3)，
又f(x)在(－3,3)上单调递减，
所以解得0