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- 2021-02-26 发布
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大教育全国名校联盟 2020 届高三质量检测第一次联考
文科数学
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上.
2.请在答题卡上作答，写在本试卷上效.
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义直接求解即可.
【详解】因为集合 ， ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2.若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得 ，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】由题意，复数 z 满足 ，可得 ，
所以复数 在复平面内对应点的坐标为 位于第一象限
故选：A.
{ }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = A B =
{ }1,2 { }1,0,1,2- { }0,1,2,3 { }0,1,2
{ }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = { }0,1,2A B =
1(1 2 0)z i− =
2 4z i= +
1(1 2 0)z i− = ( )
( )( )
10 1 210 2 41 2 1 2 1 2
iz ii i i
+= = = +− − +
z (2,4)
- 2 -
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运
算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且 ， ，则“
”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断 与 的关系即可得到答案.
【详解】若 ，根据线面平行的性质定理，可得 ；
若 ，根据线面平行的判定定理，可得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.
4.体育教师指导 4 个学生训练转身动作，预备时，4 个学生全部面朝正南方向站成一排.训练
时，每次都让 3 个学生“向后转”，若 4 个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后
转”的次数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数.
【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示，
利用列举法，可得下表，
原始状态 第 1 次“向后转” 第 2 次“向后转” 第 3 次“向后转” 第 4 次“向后转”
∧∧∧∧ ∧∨∨∨ ∨∨∧∧ ∧∧∧∨ ∨∨∨∨
可知需要的次数为 4 次.
a β⊂ bα β = //a α
/ /a b
//a α //bα
//a α //a b
//a b //a α
- 3 -
故选：B.
【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直
观感受，属于基础题.
5.已知等比数列 的各项均为正数，设其前 n 项和 ，若 （ ），则
（ ）
A. 30 B. C. D. 62
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ，分别令 ，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组
，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前 n 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由题意可知中： .由 ，分别令
， 可 得 、 ， 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 可 得 ：
，
因此 .
故选：B
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.
6.函数 的大致图象是
A. B. C. D.
{ }na nS 1 4+ = n
n na a n ∗∈N 5S =
31 2 15 2
1 4+ = n
n na a 1,2n =
{ }na q 1 0, 0a q> > 1 4+ = n
n na a
1,2n = 1 2 4a a = 2 3 16a a =
1 1 1
2
1 1
4 2
16 2
a a q a
a q a q q
⋅ ⋅ = =⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = =
5
5
2(1 2 ) 31 21 2S
−= =−
( ) ( )2
3
ln 1x
f x x
+
=
- 4 -
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】由题意可知函数 为奇函数，可排除 B 选项；
当 时， ，可排除 D 选项；
当 时， ，当 时， ，
即 ，可排除 C 选项，
故选 A
【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题．
7.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式,该
公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图
(1692 年-1765 年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明
了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,
著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算 π 开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱
布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值),若输入 ,
则输出的结果是( )
A. B.
( )f x
x 0< ( ) 0f x ＜
x 1= ( )1 2f ln= x 3= ln10 ln10(3) ,ln 227 27f = >
( ) ( )1 3f f＞
10n＝
1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅−
- 5 -
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
执行给定的程序框图，输入 ，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入 ，可得：
第 1 次循环： ；
第 2 次循环： ；
第 3 次循环： ；
第 10 次循环： ，
此时满足判定条件，输出结果 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计
算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于
基础题.
8.已知等差数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，若 （ ，
且 ），则 i 的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足 的 i 的取值集合.
【详解】设公差为 d，由题知 ，
1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅−
10n =
10n =
1, 2S i= =
11 , 33S i= − =
1 11 , 43 5S i= − + =
1 1 1 11 , 113 5 7 19S i= − + − + − =
1 1 1 14 4(1 )3 5 7 19P S= = − + − +⋅⋅⋅−
{ }na nS 4 3a = − 12 24S = 0+ =i ja a *,i j ∈N
1 i j≤ <
{ }1,2,3 { }6,7,8 { }1,2,3,4,5
{ }6,7,8,9,10
0+ =i ja a
4 3a = − ⇒ 1 3 3a d+ = −
- 6 -
，
解得 ， ，
所以数列为 ，
故 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
9.若 , , ,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】由指数函数的性质，可得 ，即 ，
又由 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的
取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10.已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 k
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出函数 在 处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数 和
12 24S = ⇒ 1
12 1112 242a d
×+ =
1 9a = − 2d =
9, 7, 5, 3, 1,1,3,5,7,9,11,− − − − −
{ }1,2,3,4,5i ∈
0.60.5a＝ 0.50.6b＝ 0.52c＝
b c a> > c a b> > a b c> > c b a> >
, ,a b c
0.5 0.5 0.61 0.6 0.5 0.5 0> > > > 1 0b a> > >
0.5 12c = > c b a> >
, ,a b c
( ) 0, 1
ln , 1
xf x x x
<= ≥
( ) ≤ −f x x k x∈R
( ],1−∞ [ )1,+∞ [ )0,1 ( ]1,0−
( )f x (1,0) ( ) 0, 1
ln , 1
xf x x x
<= ≥
- 7 -
的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】当 时， ，所以函数 在 处的切
线方程为： ，令 ，它与横轴的交点坐标为 .
在同一直角坐标系内画出函数 和 的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式 对任意的 恒成立，则实数 k 的取值范围
是 .
故选：A
【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中
档题.
11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在 12：00~12：10
之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
( )g x x k= −
1x ≥ ( ) 1ln , ( ) (1) 1f x x f x fx
= ⇒ = ⇒ = ( )f x (1,0)
1y x= − ( )g x x k= − ( ,0)k
( ) 0, 1
ln , 1
xf x x x
<= ≥ ( )g x x k= −
( ) ≤ −f x x k x∈R
1k ≤
1
2
4
5
3
8
3
4
- 8 -
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为 ，以 12：00 点为开始算
起，则有 ，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表
示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率为：
.
故选：C
【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数
学运算能力.
12.已知双曲线 C： （ ）的左、右焦点分别为 ，过 的直线 l
与双曲线 C 的左支交于 A、B 两点.若 ，则双曲线 C 的渐近线方程
,x y
5
x y
y x
≤
− ≤
1 110 10 10 10 5 5 32 2
10 10 8P
´ - ´ ´ - ´ ´
= =´
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0, 0a b> > 1 2,F F 1F
2 2, 120= ∠ = AB AF BAF
- 9 -
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设 ，由双
曲 线 的 定 义 可 知 ： 因 此 再 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 ：
，在三角形 中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线
方程，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，若 ， ，则 与 的夹角为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先求出 与 的数量积，然后直接根据 与 的夹角公式求解即可.
【详解】由题知 ， ，
3
3y x= ± 6
2y x= ± ( )3 2= ± −y x
( )3 1= ± −y x
2AF m=
2 2
2 2 2 2, 2 cos120 3AB AF m BF AB AF AB AF m= = ∴ = + − ⋅ ⋅ =
1 2 ,AF m a= − 1 2 ,BF a=
12
4 32 3BF BF a m a− = ⇒ = 1 2AF F
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2 2 21 12 cos120 (5 2 3) (5 2 3)F F AF AF AF AF c a a b a°= + − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⇒ + = −
2
2 2
2(4 2 3) (4 2 3) 3 1b bb a a a
⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
( )3 1= ± −y x
i j 90° = + a i j b j= a b
45°
a b a b
= + a i j b j=
- 10 -
有 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，向量夹角的求解，属于基础题.
14.若函数 满足：① 是偶函数；② 的图象
关于点 对称.则同时满足①②的 ， 的一组值可以分别是__________.
【答案】 ，
【解析】
【分析】
根据 是偶函数和 的图象关于点 对称，即可求出满足条件的 和 .
【详解】由 是偶函数及 ，可取 ，
则 ，
由 的图象关于点 对称，得 ， ，
即 ， ，可取 .
故 ， 的一组值可以分别是 ， .
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.
15.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为 R,若其近地点､
远地点离地面的距离大约分别是 , ,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为
__________.
( ) 1a b i j j⋅ = + ⋅ =
1 2cos , 22 1
a ba b
a b
⋅= = =
×
cos , 45a b = °
45°
( ) ( )(sin 0,0 2 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ < ( )f x ( )f x
,03
π
ω ϕ
3
2
π
2
( )f x ( )f x ,03
π
ω ϕ
( )f x 0 πϕ≤ < 2 π
2
ϕ =
( ) πsin cos2f x x xω ω = + =
( )f x π ,03
π ππ3 2kω × = + k Z∈
33 2kω = + k Z∈ 3
2
ω =
ω ϕ 3
2
π
2
3
2
π
2
2
3 R 4R
- 11 -
【答案】
【解析】
【分析】
画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得 的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】如图所示，设椭圆的长半轴为 ，半焦距为 ，
因为地球半径为 R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是 , ,
可得 ，解得 ，
所以椭圆的离心率为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得
的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
16.在三棱锥 中， ， ， ，若 PA 与底面 ABC
所成的角为 ，则点 P 到底面 ABC 的距离是______；三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
1
2
,a c
a c
2
3 R 4R
4
2
3
a c R R
a c R R
+ = + − = +
10 5,3 3a R c R= =
5
13
10 2
3
Rce a R
= = =
1
2
,a c
P ABC− 2PA PC= = 1BA BC= = 90ABC∠ = °
60°
3 5π
- 12 -
首先补全三棱锥为长方体，即可求出点 P 到底面 ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三
棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.
【详解】将三棱锥 置于长方体中，其中 平面 ，
由 与底面 ABC 所成的角为 ，可得 ，
即为点 P 到底面 ABC 距离，
由 ，得 ，如图，
PB 就是长方体（三条棱长分别为 1，1， ）外接球的直径，
也是三棱锥 外接球的直径，即 ，
所以球的表面积为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .
（1）求 B；
（2）若 的面积为 ，周长为 8，求 b.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
的
P ABC− 1PP ⊥ ABC
PA 60° 1 3PP =
11 PPP A P C ≌ 1 1 1P A PC= =
3
P ABC− 5PB =
2
54π 5π2
=
3 5π
ABC sin( ) sin 2
A Cb A B c
++ =
ABC 3
π
3B = 13
4b =
- 13 -
（1）通过正弦定理和内角和定理化简 ，再通过二倍角公式即可求
出 ；
（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为 8，求出 b 的表达式后即可求出 b 的值.
详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得 ，
结合正弦定理，得 ，
由 及二倍角公式，得 ，
即 ，故 ；
（2）由题设，得 ，从而 ，
由余弦定理，得 ，即 ，
又 ，所以 ，
解得 .
【点睛】本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.
18.若养殖场每个月生猪的死亡率不超过 ，则该养殖场考核为合格，该养殖场在 2019 年 1
月到 8 月养殖生猪的相关数据如下表所示：
月份 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月
月养殖量/千只 3 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
生猪死亡数/只 29 37 49 53 77 98 126 145
（1）从该养殖场 2019 年 2 月到 6 月这 5 个月中任意选取 3 个月，求恰好有 2 个月考核获得
合格的概率；
（2）根据 1 月到 8 月的数据，求出月利润 y（十万元）关于月养殖量 x（千只）的线性回归
方程（精确到 0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若 9 月份的养殖量
【
sin( ) sin 2
A Cb A B c
++ =
BÐ
sin cos 2
Bb C c=
sin cos 2
BB =
π0 2 2
B< < 1sin 2 2
B =
π
2 6
B = π
3B =
1 sin 32 ac B = 4ac =
2 2 2 2 cosb a c ac B= + − ( )22 12b a c= + −
8a b c+ + = ( )22 8 12b b= − −
13
4b =
1%
- 14 -
为 1.5 万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程 中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：
，
参考数据： .
【答案】（1） ；（2） ；（3）利润约为 111.2 万元.
【解析】
【分析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润 y 和养殖量 x 的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距
即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入 9 月份的数据即可求出 9 月利润.
【详解】（1）2 月到 6 月中，合格的月份为 2，3，4 月份，
则 5 个月份任意选取 3 个月份的基本事件有
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共计 10 个，
故恰好有两个月考核合格的概率为 ；
（2） ， ，
，
，
故 ；
（3）当 千只，
（十万元） （万元），
故 9 月份的利润约为 111.2 万元.
ˆˆ ˆy a bx= +
1
2 2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
8 8
2
1 1
460, 379.5i i i
i i
x x y
= =
= =∑ ∑
3
5
ˆ 0.640 1.520y x= +
( )2,3,4 ( )2,3,5 ( )2,3,6 ( )2,4,5 ( )2,4,6 ( )2,5,6
( )3,4,5 ( )3,4,6 ( )3,5,6 ( )4,5,6
6 3
10 5P = =
7x = 6y =
2
379.5 8 7 6 43.5ˆ 0.640460 8 7 68b
− × ×= = ≈− ×
ˆ 6 0.640 7 1.520a = − × =
ˆ 0.640 1.520y x= +
15x =
ˆ 0.640 15 1.520 11.12y = × + = 111.2=
- 15 -
【点睛】本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
19.在三棱柱 中，四边形 是菱形， ， ，
， ，点 M、N 分别是 、 的中点，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出 平面 即可；
（2）求出点 A 到平面 的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥
的体积.
【详解】（1）连接 ，由 是平行四边形及 N 是 的中点，
得 N 也是 的中点，因为点 M 是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）过 A 作 交 于点 O，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，
由 是菱形及 ，得 为三角形，则 ，
1 1 1ABC A B C− 1 1A B BA 4AB = 1 60ABB∠ = ° 1 1 3B C =
BC AB⊥ 1A B 1AC 1
⊥MN AB
1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA
1 1A BCC B−
8 3
BC ⊥ 1 1A B BA
1 1BCC B 1 1A BCC B−
1AC 1 1ACC A 1AC
1AC 1A B //MN BC
1
⊥MN AB 1BC AB⊥
BC AB⊥ 1AB AB A= BC ⊥ 1 1A B BA
BC ⊂ 1 1BCC B 1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA
1AO B B⊥ 1B B
1 1BCC B ⊥ 1 1A B BA 1 1BCC B 1 1 1A B BA B B=
AO ⊥ 1 1BCC B
1 1A B BA 1 60ABB∠ = ° 1ABB△ 2 3AO =
- 16 -
由 平面 ，得 ，从而侧面 为矩形，
所以 .
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.
20.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，P 是
抛物线 E 上一点，且点 P 的横坐标为 2， .
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）过点 F 的直线 m 与抛物线 E 交于 A、B 两点，过点 F 且与直线 m 垂直的直线 n 与准线 l
交于点 M，设 AB 的中点为 N，若 O、M、N、F 四点共圆，求直线 m 的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据抛物线的定义和题中条件求出抛物线的焦准距，即可得到抛物线的方程；
（2）首先设直线 m 方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理求出点 N 坐标，然后设直线 n
的方程求出点 M 的坐标，最后利用 O、M、N、F 四点共圆即可求出直线 m 的方程.
【详解】（1）由抛物线定义，得 ，解得 ，
所以抛物线 F 的方程为 ；
（2）设直线 m 的方程为 ，代入 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
由 ， ，
得 ，
的
BC ⊥ 1 1A B BA 1BC B B⊥ 1 1BCC B
1 1 1
1 1 2 3 3 4 8 33 3A BCC BV OA BC B B− = × × × = × × × =
( )2: 2 0E y px p= >
3PF =
2 4y x= ( )2 1y x= ± −
2 32
pPF = + = 2p =
2 4y x=
1x ty= + 2 4y x= 2 4 4 0y ty− − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y t+ = 1 2 4y y = −
2
1 14y x= 2
2 24y x=
( ) ( ) ( )2 22 2
21 2 1 21 2
1 2
2 4 2 4 4 24 4 4 4
y y y y ty yx x t
+ − − × −+ = + = = = +
- 17 -
所以 ，
因为直线 m 的斜率为 ，所以直线 n 的斜率为 ，
则直线 n 的方程为 ，
由 解得 ，
若 O、M、N、F 四点共圆，再结合 ，得 ，
则 ，
解得 ，所以直线 m 的方程为 .
【点睛】本题主要考查了抛物线的定理，直线与抛物线的交点问题，属于一般题.
21.已知函数 存在一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）若函数 极大值点和极小值点分别为 和 ，且 ，求实
数 a 的取值范围.（e 是自然对数的底数）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）首先对函数 求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出 a 的取值范围；
（2）首先求出 的值，再根据 求出实数 a 的取值范围.
【详解】（1）函数 的定义域为是 ，
，
若 有两个极值点，则方程 一定有两个不等的正根，
设为 和 ，且 ，
的
( )22 1,2N t t+
1
t t−
( )1y t x= − −
( )
1
1
x
y t x
= −
= − −
( )1,2M t−
FN FM⊥ OM ON⊥
( )2 21 2 1 2 2 2 1 0OM ON t t t t⋅ = − × + + ⋅ = − =
2
2t = ± ( )2 1y x= ± −
2( ) 1 2 6 lnaf x x a xx
= + − −
( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2 2 6f x f x e< −+
4 ,9
+∞
( )e,+∞
( )f x
( ) ( )1 2f x f x+ ( ) ( )1 2 2 6f x f x e< −+
( )f x ( )0, ∞+
( ) 2
2 2
2 6 2 6 22 a a x ax af x x x x
− +′ = + − =
( )f x 22 6 2 0x ax a− + =
1x 2x 1 2x x<
- 18 -
所以 解得 ，
此时 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 是极大值点， 是极小值点，
故实数 a 的取值范围是 ；
（2）由（1）知， ， ，
则 ，
，
，
由 ，得 ，即 ，
令 ，考虑到 ，
所以 可化为 ，
而 ，
所以 在 上为增函数，
由 ，得 ，
故实数 a 的取值范围是 .
2
1 2
1 2
36 16 0
3 0
0
a a
x x a
x x a
∆ = − >
+ = >
= >
4
9
>a
( ) ( )( )1 2
2
2 x x x xf x x
− −′ =
10 x x< < ( ) 0f x′ >
1 2x x x< < ( ) 0f x′ <
2x x> ( ) 0f x′ >
1x 2x
4 ,9
+∞
1 2 3x x a+ = 1 2x x a=
( ) ( )1 2 1 1 2 2
1 2
2 21 2 6 ln 1 2 6 lna af x f x x a x x a xx x
+ = + − − + + − −
( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 2
22 2 6 lna x xx x a x xx x
+= + + − −
2 32 2 3 6 ln 2 6 lna aa a a a aa
⋅= + × − − = −
( ) ( )1 2 2 6ef x f x+ < − 2 6 ln 2 6ea a− < − ln ea a >
( ) 4ln 9g a a a a = >
( )e elne eg = =
ln ea a > ( ) ( )eg a g>
( ) 4 11 ln 1 ln 1 ln 09 eg a a′ = + > + > + =
( )g a 4 ,9
+∞
( ) ( )eg a g> ea >
( )e,+∞
- 19 -
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，
属于难题.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑.
22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 O
为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系.
（1）设直线 l 的极坐标方程为 ，若直线 l 与曲线 C 交于两点 A.B，求 AB 的长；
（2）设 M、N 是曲线 C 上的两点，若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2） ， ，由（1）通过计算得到 ，
即最大值为 1.
【详解】（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程为 ，
即 ；
再将 ， ， 代入上式，
得 ，
故曲线 C 的极坐标方程为 ，
显然直线 l 与曲线 C 相交的两点中，
必有一个 原点 O，不妨设 O 与 A 重合，为
1 cos2
3 sin2
x
y
α
α
= +
= +
α
12
πθ =
2MON
π∠ = OMN∆
2
( )1,M ρ θ 2
π, 2N ρ θ + 1 2
1 πsin2 2S ρ ρ= πsin 2 3
θ = +
221 3 12 2x y
− + − =
2 2 3 0x y x y+ − − =
2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= siny ρ θ=
2 cos 3 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − =
π2sin 6
ρ θ = +
- 20 -
即 .
（2）不妨设 ， ，
则 面积为
当 ，即取 时， .
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，三角形面积的最值问题，是
一道容易题.
23.已知不等式 对于任意的 恒成立.
（1）求实数 m 的取值范围；
（2）若 m 的最大值为 M，且正实数 a，b，c 满足 .求证
.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（ 1 ） 法 一 ： ， ， 得 ， 则
，由此可得答案；
法二：由题意 ，令 ，易知 是偶
函数，且 时为增函数，由此可得出答案；
（2）由（1）知， ，即 ，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明
结论．
【详解】解：（1）法一： （当且仅当 时取等
12
π π2sin 26 12AB OB πθ
ρ =
= = = + =
( )1,M ρ θ 2
π, 2N ρ θ +
OMN
1 2
1 π 1 π π πsin 2sin 2sin2 2 2 6 2 6S ρ ρ θ θ = = ⋅ + ⋅ + +
π π π2sin cos sin 26 6 3
θ θ θ = + + = +
πsin 2 13
θ + =
π
12
θ = max 1S =
1 1 1x x x m+ + + − ≥ + x∈R
2 3a b c M+ + =
1 1 2 32 2a b b c
+ ≥ ++ +
[ ]3,1−
( ) ( )1 1 1 1 2x x x x+ + − ≥ + − − = 0x ≥ 1 1 2x x x+ + + − ≥
1 2m + ≤
( )
min1 1 1m x x x+ ≤ − + + + ( ) 1 1f x x x x= + + + − ( )f x
[ )0,x∈ +∞
1M = 2 3 1a b c+ + =
( ) ( )1 1 1 1 2x x x x+ + − ≥ + − − = 1 1x− ≤ ≤
- 21 -
号），
又 （当且仅当 时取等号），
所以 （当且仅当 时取等号），
由題意得 ，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
法二：因为对于任意 恒有 成立，即
，
令 ，易知 是偶函数，且 时为增函数，
所以 ，即 ，则 ，解得 ，
故 的取值范围是 ；
（2）由（1）知， ，即 ，
∴
，
故不等式 成立．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．
0x ≥ 0x =
1 1 2x x x+ + + − ≥ 0x =
1 2m + ≤ 2 1 2m− ≤ + ≤ 3 1m− ≤ ≤
m [ ]3,1−
x∈R 1 1 1x x x m+ + + − ≥ +
( )
min1 1 1m x x x+ ≤ − + + +
( ) 1 1f x x x x= + + + − ( )f x [ )0,x∈ +∞
( ) ( )min 0 2f x f= = 1 2m + ≤ 2 1 2m− ≤ + ≤ 3 1m− ≤ ≤
m [ ]3,1−
1M = 2 3 1a b c+ + =
1 1
2 2a b b c
++ +
( ) 1 12 3 2 2a b c a b b c
= + + ⋅ + + +
( ) ( )2 3 2 1 1
2 2 2
a b b c
a b b c
+ + + = ⋅ + + +
( )3 21 242 2 2
b c a b
a b b c
+ += + + + +
1 4 2 3 2 32
≥ + = +
1 1 2 32 2a b b c
+ ≥ ++ +
- 22 -