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- 2021-05-11 发布
陕西省 2020 届高三下学期第二次模拟数学试题（文）
一、选择题（共 12 小题）.
1.已知集合 2{ | 6 }= 0A x x x ，函数 ( )= (1 )f x ln x 的定义域为集合 B ，则 A B
（ ）
A. [ 21] ， B. [ 21) ， C. [1 ]3， D. (13]，
【答案】B
【解析】∵ { | 2 3}A x x ， = 1 0{ | } { | }1B x x x x ，
∴ 21[ )A B ＝﹣， .
故选：B.
2.已知 i 为虚数单位,复数 Z 1 3i
1 i
,则其共轭复数 z 的虚部为（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. 2i D. ﹣2i
【答案】A
【解析】∵z
1 3i 1 i1 3i 1 2i1 i 1 i 1 i
,
∴ 1 i2z ,
则共轭复数 z 的虚部为 2.
故选：A.
3.已知向量 1, 1a ， ,2b x ，且 a b ，则 a b 的值为（ ）
A. 2 B. 7 C. 2 2 D. 10
【答案】D 由 a b 得 2 0a b x ，解得 2x = ．
∴ (3,1)a b ，
∴ 23 1 10a b ．选 D．
4.现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人
恰好参加同一项活动的概率为（ ）
A. 1
2 B. 1
3 C. 1
6 D. 1
12
【答案】B
【解析】由题意，现有甲乙丙丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
基本事件的总数为
2 2
24 2
22
2
6C Cn AA
，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 2 2 2
2 2 2 2m C C A ,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为 1
3
mp n
，故选 B.
5.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，
已知有两人获奖，则获奖的是（ ）
A. 甲和丁
B. 乙和丁
C. 乙和丙
D. 甲和丙
【答案】B
【解析】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，
推出获奖的是乙和丁
答案选 B
6.设函数 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 1< x < 时， ( ) 4xf x ，则
5 (2019)2f f
（ ）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】因为 f x 的周期为 2，所以 5 1
2 2f f
且 2019 1f f ，
由 f x 为奇函数，则 1 1 22 2f f
， 1 1f f ，但 1 1f f ，
故 1 1 0f f ，故 5 2019 22f f
，选 A．
7.已知 m,n,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）
A. 若 m
⊂
α,n
⊂
α,l
⊂
β,m∥l,n∥l,则α∥β
B. 若 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α∥β
C. 若 m
⊂
α,m∩n＝A,l⊥m,l⊥n,l⊥β,则α∥β
D. 若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
【答案】D
【解析】由 m,n,l 是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知：
在 A 中,若 m
⊂
α,n
⊂
α,l
⊂
β,m∥l,n∥l,则α与β相交或平行,故 A 错误；
在 B 中,若 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故 B 错误；
在 C 中,若 m
⊂
α,m∩n＝A,l⊥m,l⊥n,l⊥β,则α与β相交或平行,故 C 错误；
在 D 中,若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故 D 正确.
故选：D.
8.已知函数 f（x） 3 cosωx﹣sinωx（ω＞0）的最小正周期为π,则该函数图象（ ）
A. 关于点（
6
,0）对称 B. 关于直线 x
6
对称
C. 关于点（
3
,0）对称 D. 关于直线 x
3
对称
【答案】A
【解析】f（x） 3 cosωx﹣sinωx＝2cos（ωx 6
）,
∵f（x）的最小正周期为 T 2
π,
∴ω＝2,
∴f（x）＝2cos（2x 6
）,
∴f（
6
）＝2cos 2
0,可得函数关于点（
6
,0）对称,故 A 正确,B 错误,
f（
3
）＝2cos 5 36
,可得 C 错误,D 错误.
故选：A.
9.已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上一点 M（x0,4）到焦点 F 的距离|MF| 5
4
x0,则 p＝（ ）
A. 2 B. 4 C. 1 D. 5
【答案】A
【解析】由抛物线的定义可知,|MF|＝x0
2
p ,
∵|MF| 5
4
x0,
∴x0
5
2 4
p x0,即 x0＝2p①,
∵点 M（x0,4）在抛物线 y2＝2px 上,
∴42＝2p•x0②,
由①②解得,p＝2 或﹣2（舍负）,
故选：A.
10.已知曲线 e lnxy a x x 在点 1, ea 处的切线方程为 2y x b ，则（ ）
A. , 1ea b B. , 1ea b
C. 1 1e ,a b D. 1,e 1a b
【答案】D
【解析】 e ln 1,xy a x
1| e 1 2xk y a ， 1ea
将 (1,1) 代入 2y x b 得 2 1, 1b b ，故选 D．
11.已知 sin 2cos 5sin 2cos
，则 2 1cos sin 22
（ ）
A. 2
5
B. 3 C. 3 D. 2
5
【答案】D
【解析】因为 sin 2cos 5sin 2cos
，
所以 tan 2 5 tan 3tan 2
，
2
2
2 2
1 cos sin coscos sin 22 cos sin
2
1 tan 1 3 2
1 tan 1 9 5
，故选 D.
12.已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的离心率为 5
2
，点(4，1)在双曲线上，则该双曲
线的方程为（ ）
A.
2
2 14
x y B.
2 2
120 5
x y
C.
22
112 3
yx D.
2
2 18
x y
【答案】C
【解析】因为离心率为 5
2
，所以 5
2
c
a
①；因为点(4，1)在双曲线上，所以 2 2
16 1 1a b
②；
因为 2 2 2c a b ③；联立①②③可得 2 212, 3a b ，故选 C.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知 x,y 满足
2 0
3 0
1 0
y
x
x y
,则 1
4
y
x
的取值范围是_____.
【答案】 51, 7
【解析】不等式组对应的平面区域如图：
1
4
y
x
的几何意义是过（4,1）和区域内的点的直线的斜率,所以最大值是过 A（﹣3,﹣4）与
（4,1）连接的直线斜率为 4 1 5
3 4 7
,
最小值是过 B（3,2）与（4,1）连接的直线斜率为 2 1 13 4
,
所以 1
4
y
x
的取值范围是 51, 7
.
故答案为： 51, 7
14.某中学从甲乙丙 3 人中选 1 人参加全市中学男子 1500 米比赛,现将他们最近集训中的 10
次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成如表的表格：
根据表中数据,该中学应选_____参加比赛.
【答案】乙
【解析】根据题意,由图中的表格：甲的平均数高于乙和丙的平均数,而甲乙的方差小于丙的
方差,则三人中乙的平均数最小且方差最小,故应该选乙参加比赛；
故答案为：乙
15.如图，在 ABC 中, D 是边 BC 上一点， AB 2
2AD AC , 1cos 3BAD ，则
sin C _________.
【答案】 3
3
【解析】由题意不妨取 2AC ,则 2AB AD ,且 1
3cos BAD ,
由余弦定理，可得 2 2 2 62 3BD AB AD AB AD cos BAD , 2 2sin 3BAD ,
由正弦定理得 sin 6sin 3
AD BADB BD
，从而 sin 3sin 3
AB BC AC
.
故答案为： 3
3
.
16.如图,圆锥型容器内盛有水,水深 3dm,水面直径 2 3dm 放入一个铁球后,水恰好把铁球淹
没,则该铁球的体积为________dm .
【答案】 12
5
【 解 析 】 作 出 相 关 图 形 ， 显 然 3AH , 因 此 30ACH o ， 因 此 放 球 前
2
1
1= 3 3=33V ，球 O 与边 1AC 相切于点 M，故 OM r ，则 2OC r ，所以
1 3CH r ， 1 1 3A H r , 所 以 放 球 后 2 3
2
1= 3 3 =33V r r r ， 而 1 2+ =V V V球 ， 而
34= 3V r球 ，解得 12= 5V 球 .
三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共 60 分.
17.在等差数列{an}中,已知 a1+a3＝12,a2+a4＝18,n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求 a3+a6+a9+…+a3n.
解：(1)因为{an}是等差数列,a1+a3＝12,a2+a4＝18,所以 1
1
2 2 12
2 4 18.
a d
a d
，
1
1
2 2 12
2 4 18.
a d
a d
，
解得 d＝3,a1＝3.则 an＝3+（n﹣1）×3＝3n,n∈N*.
(2)a3,a6,a9,…,a3n 构成首项为 a3＝9,公差为 9 的等差数列.
则 2
3 6 9 3
1 99 1 92 2na a a a n n n n n .
18.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,AB＝2CD＝2PD＝2,PC 2 ,且有 PD⊥AD,AD⊥CD,AB
∥CD.
（1）证明：PD⊥平面 ABCD；
（2）若四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 1
2 ,求四棱锥 P﹣ABCD 的表面积.
（1）证明：在
△
PCD 中,PD＝1,CD＝1,PC 2 ,
∵12+12 2( 2) ,
∴∠PDC＝90°,即 PD⊥CD,
又 PD⊥AD,AD∩CD＝D,∴PD⊥平面 ABCD.
（2）解：由（1）得 PD⊥面 ABCD,
VP﹣ABCD 1 1 1
3 2 2AB CD AD PD ,
∴AD＝1,
∵PD⊥AB,AB⊥AD,PD∩AD＝D,
∴AB⊥平面 PAD,∴AB⊥PA,∴PA 2 ,
由题意得 BC＝PC 2 ,PB 2 2 6PA AB ,
△
PBC 中,由余弦定理得 cos∠PCB
2 2 6 1
22 2 2
.
∴∠PCB＝120°,
∴S
△
PCB
1 32 2 1202 2sin ,
1 2 2 22PABS ,
S
△
PAD＝S
△
PCD
1 11 12 2
,
1 31 2 12 2ABCDS ,
∴四棱锥 P﹣ABCD 的表面积 S 5 322 2
.
19.将某产品投入甲、乙、丙、丁四个商场进行销售，五天后，统计了购买该产品的所有顾
客的年龄情况以及甲商场这五天的销售情况如频率发布直方图所示：
甲商场五天的销售情况
销售第 x 天 1 2 3 4 5
第 x 天的销量 y 11 13 12 15 14
（1）试计算购买该产品的顾客的平均年龄；
（2）根据甲商场这五天的销售情况，求 x 与 y 的回归直线方程 ˆ ˆy bx a .
参考公式：
回归直线方程 ˆ ˆy bx a 中，
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， ˆa y bx .
解：（1）购买该产品的顾客的平均年龄为：
27.5 0.01 5 32.5 0.04 5 37.5 0.07 5 42.5 0.06 5 47.5 0.02 5 38.5
（2） 1 2 3 4 5 35x 11 13 12 15 14 135y
1
2
1
2 2 2 2 2
(1 3)(11 13) (2 3)(13 13) (3 3)(12 13) (4 3)(15 13) (5 3)(14 13) 4
(1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 5
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
4 53ˆ 13 35 5a y bx
回归方程为： 4 53ˆ
5 5y x
20.已知函数 2e 1xf x x x .
（1）求函数 y f x 的单调区间；
（2）函数 2 1g x x a x ，求 g x f x 的解的个数.
解：（1）由 2e 1xf x x x ，得 e 2 1xf x x ，
故 e 2xf x ，
令 0f x ，解得 ln 2x ，令 0f x ，解得 ln 2x ，
故函数 y f x 在 ,ln 2 上单调递减，在 ln 2, 上单调递增；
（2）令 1 exh x g x f x ax ，则 exh x a ，
若 0a ，则 0h x ， h x 在 R 上单调递减，而 0 0h ，故 h x 有 1 个零点，
若 0a ，可得 ,lnx a 时， 0h x ， ln ,x a 时， 0h x ，
∴ h x 在 ,ln a 上单调递增，在 ln ,a 上单调递减，
∴ max ln 1 lnh x h a a a a ，
令 1 lnt a a a a ，则 lnt a a ，
当 0,1a 时， 0t a ，当 1,a 时， 0t a ，
∴ t a 在( )0,1 上单调递减，在( )1,+¥ 上单调递增，而 1 0t ，
故 0,1 1,a 时， max 0h x ， h x 有 2 个零点，
当 1a 时， max 0h x ， h x 有 1 个零点，
综上， ,0 1a 时， g x f x 有 1 个解，
当 0,1 1,a 时， g x f x 有 2 个解.
21.已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的四个顶点围成的菱形的面积为 4 3 ，椭圆的一个焦点
为 1,0 .
（1）求椭圆的方程；
（2）若 M ，N 为椭圆上的两个动点，直线 OM ，ON 的斜率分别为 1k ， 2k ，当 1 2
3
4k k
时， MON△ 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.
解：（1）由椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
的四个顶点围成的菱形的面积为 4 3 ，椭圆的一个焦点为 1,0 ，
可得 2 4 3ab ， 1c ，即 2 2
2 3
1
ab
a b
，解得 2 4a ， 2 3b ，
故椭圆的方程为
2 2
14 3
x y .
（2）设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 y kx m ，
由
2 2
14 3
x y
y kx m
，消 y 可得， 2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m ，
则 2 2 2 264 4 3 4 4 12k m k m 2 248 4 3 0k m ，即 2 24 3m k ，
且 1 2 2
8
3 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
，
所以 22 2
1 2 1 2 1 21 1 4MN k x x k x x x x
2 2
2
2 2
8 4 121 43 4 3 4
km mk k k
2
2 2
2
4 1 4 33 4
3 k k mk
.
又由点O 到直线 MN 的距离
21
md
k
，
所以 1
2MONS MN d△ 2 2
2
2 3 4 33 4
m k mk
.
又因为 1 2
1 2
1 2
3
4
y yk k x x
，
所以 2 2
1 2 1 1
1 2
k x x km x x m
x x
2
2
2
2
2
8
33 4
4 12 4
3 4
kmkm mkk m
k
，
化简整理可得 2 22 4 3m k ，满足 ，
代入
2
2 2
2 2
2 3 2 34 3 33 4 2MCN
m mk mk mS △ ，
当直线 MN 的斜率不存在时，由于 1 2
3
4k k ，
考虑到 OM ，ON 关于 x 轴对称，不妨设 1
3
2k ， 2
3
2k ，
则点 M ， N 的坐标分别为 62, 2M
， 62, 2N
，
此时 1 2 6 32MONS △ ，
综上可得， MON△ 的面积为定值 3 .
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.平面直角坐标系 xOy 中，点 M 的坐标为 1,0 ，曲线 C 的参数方程是
24
4
x m
y m
（m 为参
数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos + 1 04
.
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 1 1
MA MB
.
解：（1）由 2 cos + 1 04
得 cos sin 1 0
因为 cos
sin
x
y
，所以直线l 的直角坐标方程为： 1 0x y .
曲线 C 的参数方程是
24
4
x m
y m
（ m 为参数），消去参数 m ，转换为普通方程为 2 4y x ；
（2）直线 l 的参数方程为
21 2
2
2
x t
y t
（ t 为参数），
代入方程 2 4y x 可得 2 4 2 8 0t t ，
设其根为 1 2,t t ，则有 1 2 4 2t t ， 1 2 8t t ，
所以
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) 41 1 32 32 18
t t t t t t
MA MB t t t t
.
23.已知函数 3 1f x x m x m
（1）若 1m ，求不等式 1f x 的解集.
（2）对任意的 xR ，有 2f x f ，求实数 m 的取值范围.
解：（1）当 1m 时， 1 4f x x x
3 4
2 51 4
3 1
x
x x
x
，
，
，
，
因为 1f x ，所以 2 5 1
1 4
x
x
或 1x ，
所以 3x ，所以不等式的解集为： 3x x ；
（2）因为 3 1 3 1 2 1x m x m x m x m m
所以 max 2 1f x m ，
因为任意的 xR ，有 2 2 3 1f x f m m ，
所以 2 1 2 3 1m m m ，即 2 1 3 1 2m m m ，
设 2 1 3 1f m m m
15 2
1 12 2 3
15 3
m m
m m
m m
，
，
，
， 2g m m ，
f m ， g m 在同一坐标系中的图象如下：
所以 1 1
2 3m ，
所以实数 m 的取值范围为： 1 1,2 3
.