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- 2021-05-11 发布
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2019年9月高一阶段性考试数学学科试题卷
一．选择题。
1.已知全集，，，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合数轴，根据集合补集以及交集定义求结果.
【详解】由题可得：,故,选B.
【点睛】本题考查集合补集以及交集定义，考查基本求解能力.
2.若全集且，则集合的真子集共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【详解】因为全集且
所以，真子集为
，
真子集有7个,故选C.
3.已知，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接代入x=0求解函数值即可．
【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，
∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．
∴f（1）=2．
故选A．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．
4.下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据常见函数的性质判断函数的单调性即可．
【详解】对于A：函数在R递减，不符合题意；
对于B：函数的对称轴是x，在（0，）递减，不合题意；
对于C：函数在（0，+∞）递减，不合题意；
对于D：函数在（-1，+∞）递增，所以在（0，+∞）满足递增，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间的判断．
5.函数在区间 上的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数y＝﹣（x﹣2）2+2，结合x∈[1，4]，利用二次函数的性质求得函数的最小值．
【详解】由于函数y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2的对称轴为x＝2，且抛物线开口向下，
结合x∈[1，4]，当x＝4时，函数取得最小值为﹣2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．
6.函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．
【详解】函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为：x＝1﹣a，
函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，
可得1﹣a≥4，解得a≤﹣3，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数单调性，是基础题．
7.奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，且f（2）＝0，作出其图象，从而可得答案．
【详解】∵奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣2）＝0，
∴f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，且f（2）＝0，作出其大致图象如下，
∴不等式f（x）<0的解集为：{x|x<﹣2或0＜x<2}．
故选：A．
【点睛】本题考查函数单调性的性质，着重考查“奇函数在对称区间上有相同的单调性”的性质及其应用，考查数形结合的思想，属于基础题．
8.对实数和，定义运算“”：，设函数
，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据新定义的运算法则，列出函数f（x）=（x2-2）⊗（x-1），的解析式，函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围
【详解】由，得 =
已知函数的图象与轴恰有两个公共点，故y=f（x），y=c图象的有两个交点，
如图：
∴c的取值范围是 （-2，-1]∪（1，2]，故选：B
【点睛】本题综合考查了分段函数，二次函数的图象特征、及函数与方程的综合运用；考查了已知函数零点，求参数,常见方法有：直接法，分离参数法，数形结合法.
二．填空题。
9.已知函数则___；若，则_________。
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
利用分段函数，直接代入相应的那一段求解第一个空．第二个空利用分段函数通过方程求解即可．
【详解】，则f（2）＝＝1，
f（a）＝0，
当a1时，a+1＝0，解得a＝1，
当a>1时，，解得a，
故答案为：1；1或．
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，以及方程的根的求法，考查计算能力．
10.已知函数，则的定义域是_____,的值域是_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由根式的意义直接求解定义域，令t，t≥0，利用换元法可将函数解析式化为y（t﹣1）2，t≥0，根据二次函数的图象和性质可得函数的值域
【详解】要使函数有意义，只需≥0，即≥，所以定义域为[，+∞）；
令t，t≥0
则x（t21）
由f（x）＝x得
y（t21）﹣t（t﹣1）2，t≥0
当t＝1时，函数取最小值．无最大值
故函数f（x）＝x的值域是[，+∞），
故答案为[，+∞） [，+∞）
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及值域，其中利用换元法，将问题转化为求二次函数的值域问题是解答的关键．
11.已知定义在R上的偶函数，当x>0时，，则____；当时，_______。
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据函数的解析式求出f（2）的值，再利用偶函数求解f（-2）即可；
第二个空，设x＜0，则﹣x＞0，根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；
【详解】∵，∴f（2）=，又函数为偶函数，则f（-2）= f（2）=；
设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝，
又f（x）是偶函数，
∴f（x）＝f（﹣x）＝，
故x＜0时，f（x）＝.
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查函数的解析式的求解方法，属于基础题．
12.已知，若在上单调递增，则的取值范围是_________；若，则不等式的解集是_________。
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据函数f（x）2的单调性得a的范围，将f（x化为>0，可得解集.
【详解】由于函数f（x）2 在（1，+∞）上为增函数，可得 a+2<0，所以a<-2．
又当a=1时，f（x）2则，即，化简得
>0，解得或
故答案为：a<-2
【点睛】本题主要考查分式函数的单调性的性质，属于基础题．
13.已知，则_________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可用配方法得到f（1﹣x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，再换元求出f（x）＝x2﹣1，将x+1代入即可得到答案
【详解】由题f（1﹣x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1=（1﹣x）2﹣1
∴f（x）＝x2﹣1，∴f（x+1）＝(x+1)2﹣1= x2+2x.
故答案为：x2+2x.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法求解析式是一种重要的方法，其特征是配方后再换元得到所求的解析式
14.已知集合，，且，则由的取值组成的集合是_________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合M，利用N⊆M确定集合N的元素，然后求解．
【详解】∵M＝{x|x2﹣2x﹣8＝0}，∴M＝{4，﹣2}，
若a＝0，则N＝∅，满足N⊆M．
若a≠0，则N＝{x|ax+4＝0}＝{}，
要使N⊆M，则，
解得a或a＝﹣1．
∴满足条件的a的取值为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合关系的应用，注意讨论集合N为空集时也成立．
15.已知函数，则不等式的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别考虑x＜0时；x≥0时原不等式的解集，最后求并集．
【详解】当x＜0时，f（x）＝x+1，则x+（x+1）（x+1）≤1，
x+x2+2x+1≤1，x2+3x≤0，解得﹣3≤x≤0，
∴﹣3≤x＜0；
当x≥0时，f（x）＝﹣x﹣1，则x﹣（x+1）（x+1）≤1，即x2+x+2≥0，在x≥0时恒成立；
∴x≥0
综上所述，原不等式的解集为[﹣3，+∞）；
故答案为：[﹣3，+∞）．
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分段函数值应考虑自变量对应的情况，属于基础题．
三．解答题.
16.（1）计算：；
（2）已知，求的值。
【答案】（1）41；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接由分数指数幂的运算性质化简即可.
（2）先化简所求，再代入x，y求值.
【详解】（1）=36+9-5+1=41；
（2），
将代入得.
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算性质，根式的化简，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
17.设全集，集合，，.
（1）求和；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1) ， (2) 或
【解析】
【分析】
（1）先解出A，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据题意可得C⊆A可讨论C是否为空集，从而可求出实数a的取值范围．
【详解】（1），，
（2）由知
当时，即时，，满足条件；
当时，即时，且，
综上，或
【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．
考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.
18.已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）求函数在上的值域。
【答案】(1) 减函数. 证明见解析；(2)
【解析】
分析】
（1）设﹣2＜x1＜x2＜2，通过作差可判断f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；
（2）由（1）可知函数f（x）在[，]上的单调性，利用单调性可求得函数的最值，从而可得值域；
【详解】（1）函数在上是减函数.
设，，
，
，
函数在上减函数.
（2）由（1）知函数在上是减函数，所以函数在上也是减函数,,
所以函数在上的值域为．
【点睛】本题考查函数单调性定义的应用，应用单调性求函数的最值，属基础题，熟练掌握定义法证明单调性是解决问题的基础．
19.已知函数
（1）讨论的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在上有最大值9，求的值．
【答案】(1) 当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；(2) 或
；(3) 或。
【解析】
【分析】
（1）通过a的值是否为0，利用奇偶性的定义，直接判断f（x）的奇偶性；
（2）通过a＝16，利用函数的单调性的定义判断f（x）在x∈（0，2]上的单调性即可；
（3）利用二次函数对称轴与区间的关系的讨论，分别求解最大值，再进行取舍．
【详解】（1）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；
当时，，满足f(-x)=f(x)，所以为偶函数；
当时，，即,
同样，所以为非奇非偶函数；
（2）>2对任意实数恒成立,即对任意实数恒成立，所以只需,解得或；
（3），对称轴为
①当，即时，，
解得或（舍去）
②当，即时，，解得或（舍去）
综上：或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数的单调性的应用，奇偶性的判断，分类讨论思想的应用，是中档题．
20.已知函数(为实常数)．
（1）当时，作出的图象，并写出它的单调递增区间；
（2）设在区间的最小值为，求的表达式；
（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)图见解析，； (2) ； (3)
【解析】
【分析】
（1）当a＝0时，f（x）＝x2﹣1，结合函数y＝|f（x）|的图象可得它的增区间．
（2）函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣1的对称轴为 x，分当时、当时、当时三种情况，分别求得g（a），综合可得结论．
（3）根据，再分当2a﹣1≤0和当2a﹣1＞0时两种情况，根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，分别求得a的范围，再取并集．
【详解】（1）当时，，图象如图：
则在上单调递增；
（2）当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
综上：
（3）
当，即，是单调递增的，符合题意；
当，即时，在单调递减，在单调递增，
令，得.
综上所述：.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．