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- 2021-05-11 发布
2019-2020学年第二学期4月阶段性检测数学试题
一、单项选择题：本题共16小题，每小题6分，共96分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.
【详解】因为，故选A.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2.已知幂函数的图象过点，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将点代入幂函数，计算得到答案.
【详解】幂函数的图象过点，则，解得.
故选：A.
【点睛】本题考查了根据幂函数过点求参数值，意在考查学生的计算能力.
3.设，且，则的最大值为
A. 80 B. 77
C. 81 D. 82
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质求解.
【详解】∵x＞0，y＞0，∴x+y 当且仅当x=y时等号成立，
∵x+y=18，∴ ，解得xy81，
即x=y=9时，xy的最大值为81．
故选C.
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求最值，必须同时满足：一正、二定、三相等，特别是式子中不能取等号时，不能应用基本不等式，可通过函数的单调性求最值.
4.已知是定义域为的奇函数，满足.若，则( )
A. B. 2 C. D. 50
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.
【详解】是定义域为的奇函数，且，
,
，
，
因此，
因为，
所以，
，
从而．
故选：B．
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性周期性求函数的值，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键，属于中档题.
5.若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先画出函数的图象，此函数是偶函数，当时，即为，而函数，即可得出所求函数图象．
【详解】当时，函数始终满足，
必有，
所以，
先画出函数的图象：在y轴右侧递减的关于y轴对称的图象．如图中黑色曲线，
而函数，与函数图象关于轴对称，
其图象为在y轴右侧递增的关于y轴对称的图象，如图中红色部分．
故选：B．
【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属中档题
6.下列函数中，在区间上为减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的单调性及复合函数的单调性可知，函数，在上都是增函数，函数在上是增函数，在上是减函数，而函数在上是减函数，故而可选答案．
【详解】函数在是增函数；
函数在上是增函数，在上是减函数；
函数，由复合函数单调性知在上是减函数；
而函数在上是增函数，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本函数的单调性，复合函数的单调性，属于中档题.
7.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件
【详解】要使函数有意义，应满足
则，且
所以的定义域为
故选
【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零．
8.已知函数，若，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分段函数值的求解方法，对与两种情况求解，可得答案.
【详解】解：若，可得，解得，(舍去)；
若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，
综上可得：，
故选：A.
【点睛】本题主要考查分段函数知识，分段函数要分段求解，是处理分段函数的核心.
9.设函数，的定义域都为，且是奇函数，
是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 是奇函数 D. 是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性性质即可得到结论．
【详解】解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
10.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将原代数式中的x替换成，再结合着和的奇偶性可得，再令即可．
【详解】由，将所有x替换成，
得，
根据，，
得，
再令，
计算得．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了函数奇偶性的应用，赋值法求值，属于中档题．
11.已知函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可知，故，即可求解.
【详解】设,
则 ，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用和对数的运算、性质，属于中档题，
12.已知函数过定点，且点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数图象过的定点，可得，利用基本不等式即可求最值.
【详解】由指数函数的性质可知，且的图象过定点，
点A在直线上，
，
则
当且仅当且，即时取最小值.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了指数型函数过定点，基本不等式的应用，属于中档题．
13.设为实数区间，且，若“”是“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由“函数在上单调递增”可知，由题意区间可以是，故选D.
14.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
15.已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
求导数，由题意知，是方程的两根，且，分析函数的单调性，从而关于的方程有两个根或，作出草图，由图象进一步观察x的取值个数，可得答案．
【详解】由，
可知
函数有两个极值可知，方程有两个不等实根，，且．
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以为极大值点，为极小值点．
所以方程有两个不等实根，或
可得函数的图象如图：
由图象可知有2个解，有1个解，
因此的不同实根个数为3．
故选：B
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值及方程解的个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力,属于难题．
16.已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由减函数可知在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出和的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．
【详解】是R上单调递减函数，
在上单调递减，在上单调递减，
且在上的最小值大于或等于．
，解得，
作出和的函数草图如图所示：
恰有两个不相等的实数解，
，即，
综上，．
故选：D．
【点睛】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得4分，有选错的得0分.
17.下列结论错误的有( )
A. 两个不等式与成立的条件是相同的
B. 已知，则的最大值为5
C. 函数的最小值等于4
D. 且是的充要条件
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根据基本不等式等号成立的条件，重要不等式、基本不等式的应用条件逐项分析即可.
【详解】A中成立条件为，成立条件为，故不正确；
B中, 因为，所以，最大值不是5，错误；
C中，，故，当且仅当时，等号成立，故等号取不到，错误；
D中,当且时，，当且仅当时等号成立，取时，不能得到且，故且是的充分不必要条件，故错误.
故选：ABCD
【点睛】本题主要考查了重要不等式、基本不等式的成立条件，应用基本不等式求最值的等号成立条件，属于中档题.
18.已知定义在上的函数满足：，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为( )
A B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx≥k (2+sinx), 再根据题意，利用检验法判断即可.
【详解】因为定义在上的函数满足：,
所以为奇函数，
时，，
显然在上单调递增，
所以在R上单调递增，
由恒成立，
可得在R上恒成立，
即，
整理得：
当时，，不恒成立，故A错误;
当时，，不恒成立，故B错误;
当时，，恒成立，故C正确；
当时，，恒成立，故D正确.
故选：CD
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
19.已知函数在区间上单调递增，则、的取值可以是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
分、、三种情况讨论，根据对任意的恒成立，求得实数的取值范围，结合函数在区间上的单调性求得实数的取值范围，从而可得出正确的选项.
【详解】由题意知，不等式对任意的恒成立.
①当时，在区间上单调递增，则，解得；
②当时，由，可得，则，解得，
则，
由于该函数在区间上单调递增，，，
当时，合乎题意；当时，恒成立，合乎题意；
当时，恒成立，合乎题意；
③当时，则，函数在没有定义，C选项不合乎题意.
故选：ABD
【点睛】本题考查利用分式型函数的单调性求参数，同时要注意分母恒不为零的限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20.已知函数,则下列判断正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 对任意,,则有
C. 对任意,则有
D. 若函数有两个不同的零点,则实数m的取值范围是
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对进行分类讨论，判断C选项；对选项D，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.
【详解】对于A选项，当时，，则
所以函数不是奇函数，故A错误；
对于B选项，的对称轴为，的对称轴为
所以函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，并且
所以在上单调递增
即对任意，都有
则，故B错误；
对于C选项，当时，，则
则
当时，，则
当时，，则
则
即对任意,则有，故C正确；
对于D选项，当时，，则不是该函数的零点
当时，
令函数，函数
由题意可知函数与函数的图象有两个不同的交点
因为时，，时，
所以
当时，设，
因为，所以，即
设，，即
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
同理可证，函数区间上单调递减，在区间上单调递增
函数图象如下图所示
由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点
则实数m的取值范围是，故D正确；
故选：CD
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
三、解答题：本题共3小题，共30分.每题10分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明：在上为减函数.
【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】
【分析】
根据奇函数定义，利用且，列出关于a、b的方程组并解之得；
根据函数单调性的定义，任取实数x1、x2，通过作差因式分解可证出,当时，,即得函数在上为减函数；
【详解】为R上的奇函数，
，
解得：．
又，
解得．
经检验，符合题意．
证明：任取，，且，
则
．
，
，
又
，
在上为减函数．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，考查了利用定义证明函数的单调性，属于中档题．
22.已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
由题意可分析知在区间上是增函数，故，，由此解得a、b的值；
不等式可化为在上恒成立恒成立，换元法从而求得k的取值范围；
【详解】函数，
若时，，无最大值最小值，不符合题意，
所以，
所以在区间上是增函数，
故，解得．
由已知可得，
则，
所以不等式，
转化为在上恒成立，
设，则，
即，在，上恒成立，
即，
，，
当时，取得最大值，最大值为，
则，
即
所以k的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．
23.已知函数，，.
（1）设，求在上的最大值；
（2）设，若的极大值恒小于0，求证：.
【答案】（1）最大值（2）证明见解析
【解析】
【分析】
对函数求导得，得到的单调区间，分类讨论即可得最大值．
，的极大值恒小于0可得，从而得到的最大值，构造函数即可证明．
【详解】由已知，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间是，单调递减区间是，
从而，，
于是
当时，，所以
当时，，所以；
综上所得．
依题意，则，
因为存在极大值，则关于x的方程有两个不等的正根，
不妨，则，则，且，
设列设表如下：
x
0
0
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
从而，，
又，
从而对恒成立，
设，，
则，
所以在上递增，从而，
所以，
，
设，则，
又，
若，
若，
从而，
即．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，利用导数研究存在或恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题．