山东省淄博市英才中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 20页

山东省淄博市英才中学2019-2020学年度高二下学期期中考试 数学试题 一、单项选择题.‎ ‎1.若复数满足，其中为虚数单位，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎ 的共轭复数是化简可得 ‎【详解】设，‎ 则.‎ 所以，故，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】求解与复数概念相关问题的技巧:‎ 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解．‎ ‎2.若某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ m n ‎0.1‎ A. 0.5 ‎B. ‎0.2 ‎C. 0.1 D. -0.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分布列“总概率之和为‎1”‎ 得方程，与已知等式联解可求.‎ ‎【详解】由分布列得 与，联解得 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用离散型随机变量分布列求参数.‎ ‎(1)利用“总概率之和为‎1”‎可以求相关参数的取值范围或值；‎ ‎(2)利用“离散型随机变量在一范围内概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；‎ ‎(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．‎ ‎3.…除以88的余数是（ ）‎ A. －1 B. ‎1 ‎C. －87 D. 87‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式定理化简原式为…，进而可得结果.‎ ‎【详解】…‎ ‎…‎ ‎…,‎ 所以…除以88的余数是1，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，将原式变形为是解题的关键，属于中档题.‎ ‎4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ）‎ A. 18个 B. 15个 C. 10个 D. 9个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首位数字是3，则后三位数字之和为3，按一个为3，两个和为3及三个和为3进行分类排列可得.‎ ‎【详解】由题知后三位数字之和为3，当一个位置为3时有003，030，300三个；当两个位置和为3时有个，；当三个位置和为3时只有111一个，一共有10个.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查求解排列问题.其主要方法：‎ 直接法:把符合条件的排列数直接列式计算.‎ 优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.‎ 捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列.‎ 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.‎ ‎5.在的展开式中，含的项的系数是（ ）‎ A. 121 B. ‎-37 ‎C. -74 D. -121‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个二项式的展开式进行取值，得到的系数，再求和可得 ‎【详解】的展开式通项 令 得的系数，‎ 同理可得： ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式问题.其常见类型及解法 ‎(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．‎ ‎(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数．‎ ‎6.如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则等于（ ）‎ A. 3 B. ‎0 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是曲线在处的切线求出，由图，对求导取值可得.‎ ‎【详解】是曲线在处的切线,所以切点代入切线方程得，又 ‎，，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点既在曲线上又在切线上构造方程组求解．‎ ‎7.甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ）‎ A. 840 B. ‎2226 ‎C. 2100 D. 2352‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得.‎ ‎【详解】每个台阶站1人有,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有, 一个台阶站2人，一个台阶站2人有 ‎ 所以共有 ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:‎ 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．‎ ‎8.已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与两曲线分别联解求出、两点坐标，计算得到函数表达式，对函数求导研究单调性，求出最小值 ‎【详解】联立求解得，得到 ‎ ‎，设，则 令， ‎ 所以在在上单增，在上单减，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的最值.‎ 求函数最值的五种常用方法：‎ 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 二、多项选择题.‎ ‎9.若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. -3 D. -5‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简利用复数几何意义求解得范围.‎ ‎【详解】‎ 因为在复平面内对应的点在第二象限，所以， ‎ 故选：CD.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义. 其几何表示:复数 一一对应复平面内的点一一对应平面向量 ‎10.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AB ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数得到原函数的单调区间，求得函数在取得极大值，在取得极小值，函数在区间上不是单调函数，则在内，或在内，列出不等式求解可得.‎ ‎【详解】， ‎ 令解得 或 ；‎ 在上单增，在上单减.‎ 所以函数在取得极大值，在取得极小值 ‎ 因为函数在区间上不是单调函数 所以或 解得或 故选：AB..‎ ‎【点睛】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况得到函数的最值．‎ ‎11.，，，，五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）‎ A. 如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为72种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.，必须相邻且在的右边,就是将捆绑看成一个元素；B.第一种情况最左端排甲，第二种情况最左端排乙；C.甲乙不相邻，可用甲乙去插的三个空（甲乙可交换）；D.先考虑五人全排列种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种，故有种.‎ ‎【详解】A.如果，必须相邻且在的右边，可将 捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.‎ B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.‎ C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.‎ D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合中的排序问题.常见类型有：‎ ‎（1）相邻问题捆绑法；（2）不相邻问题插空排；（3）定序问题缩倍法(插空法)；（4）定位问题优先法；‎ ‎12.已知的图像与轴相切于非原点的一点，且，那么下列结论正确的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 的极小值为0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设切点为，，根据题意得，方程有两个相等的实根，则，求导得，则函数零点为得或，由函数的极大值为可得，可得的值，进而得到的解析式，即可得到和的值.‎ ‎【详解】设切点为，，‎ ‎，‎ 根据题意得，方程有两个相等的实根，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，可得或，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查已知函数极值求参数.其步骤为：‎ ‎（1）先对函数求导得；‎ ‎（2）令，求得的值；‎ ‎（3）根据函数的单调性判断函数的极值点.‎ 三.填空题.‎ ‎13.设，其中，是实数，则等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、复数相等、模. ‎ 求解与复数概念相关问题的技巧：‎ 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解．‎ ‎14.用数字6，7组成四位数，且数字6，7至少都出现一次，这样的四位数共有______个.(用数字作答)‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算6出现一次、两次、三次的情况，再将三种情况的结果种数相加即可.‎ ‎【详解】①当数字中有1个6，3个7时，共有种结果；‎ ‎②当数字中有2个6，2个7时，共有种结果；‎ ‎③当数字中有3个6，1个7时，共有种结果.‎ 故共有种结果.‎ 故答案为：14‎ 点睛】本题主要考查分类计数问题.‎ 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．‎ ‎15.已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的定义求出函数在上的解析式，然后利用导数可求出的值，即为所求结果.‎ ‎【详解】当时，，由于函数为奇函数，‎ 当时，，则，‎ 此时，，.‎ 因此，曲线在点处的切线斜率为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.已知在的展开式中，所有奇数项的二项式系数的和为64.则的值为______；展开式中所有项的系数之和为______.‎ ‎【答案】 (1). 7 (2). 128‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二项式的奇数项的系数和等于偶数项的系数和，等于.‎ ‎【详解】所有奇数项的二项式系数为，则.令，.‎ 故答案为：7；128‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式系数和及项的系数和.‎ 二项式系数的和：‎ ‎(1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)；‎ ‎(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．‎ 四、解答题.‎ ‎17.已知复数，是实数，是虚数单位.‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若复数是关于的方程的根，求实数和的值.‎ ‎【答案】(1);(2) ,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入中，将分子分母同时乘以的共轭复数可得，由是实数，得，求得即可得复数.‎ ‎（2）将代入方程中，化简得，通过虚部为零，实部为零即可求得实数和的值.‎ ‎【详解】（1），‎ 又是实数，，得，‎ ‎（2）是方程的根，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等.‎ 复数（均为实数），其中为实部，为虚部，为虚数单位.当时，，则为实数；当时，，则为纯虚数.‎ ‎18.已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线.‎ ‎（1）求与的表达式及公切线方程；‎ ‎（2）若，求在区间上的最值.‎ ‎【答案】(1) ，，.‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数求导，利用求出得切线方程；‎ ‎（2）化简解求导德函数单调区间，利用单调性求最值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 根据题意得，，，‎ ‎.‎ ‎，.‎ 公切线方程，即.‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，，解得，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 在区间上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数求导、单调区间、求最值问题.‎ 求函数最值的五种常用方法：‎ 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法：对比较复杂函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 ‎19.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券2张，每张可获价值50元的奖品；有二等奖券2张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎（1）该顾客中奖的概率；‎ ‎（2）该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.‎ ‎【答案】（1）；（2）的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先求出该顾客没有中奖的概率，再根据与对立事件的概率和为1，即可得到该顾客中奖的概率.（2）根据题意得的取值可能为0，10，20，50，60，100，根据古典概率公式分别求出其概率，进而求出X的概率分布列.‎ ‎【详解】（1）该顾客获奖的概率为.‎ ‎（2）根据题意得，的取值可能为0，10，20，50，60，100‎ ‎,,,‎ ‎,,.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型事件的概率求解.‎ 古典概型的特点：‎ ‎①有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）；②等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）.‎ 基本事件的特点：‎ ‎①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.‎ ‎20.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项．‎ ‎【答案】（1）；（2）,．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项.‎ ‎【详解】解：二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ ‎（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 ‎，‎ 即,‎ 解得；‎ ‎（2）二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ 当时,对应项是有理项,‎ 所以展开式中所有的有理项为 ‎,‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.（为自然对数的底数）‎ ‎（1）时求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若，求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，函数的极小值.‎ 当时，函数的极小值.函数的极大值.‎ 当时，不存在极值；‎ 当时，函数的极大值.函数的极小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入的值，求出切点坐标，再求出切线方程；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，进而求得函数的极值.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎，故切点为，‎ ‎，，‎ 故切线方程为，即.‎ ‎（2）根据题意得，‎ ‎，‎ ‎① 当时，令，解得，令，解得，‎ 在单减，在单增，‎ 函数的极小值.‎ ‎② 当时，令，解得或，令，解得，‎ 在单减，在，单增， ‎ 函数的极小值.函数的极大值.‎ ‎③ 当时，恒成立，故在上单增，不存在极值点.‎ ‎④ 当时，令，解得或，‎ 令，解得，‎ 在单减，在，单增， ‎ 函数的极大值.函数的极小值.‎ 综上，当时，函数的极小值.‎ 当时，函数的极小值.函数的极大值.‎ 当时，不存在极值；‎ 当时，函数的极大值.函数的极小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了切线方程的求解，函数的极值.、当函数含参数时，要先讨论参数的范围，再进行求解.求函数极值点步骤：‎ ‎（1）求一阶导数；‎ ‎（2）求方程的根；‎ ‎（3）检查在根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根取得极大值；如果左负右正，那么在这个根取得极小值；如果在根的左右值的符号同号，则这个根不是的极值点.‎ ‎22.已知函数，，，其中…为自然对数的底数.‎ ‎（1）对一切，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得，即恒成立，令，求出导数和单调区间，得极小值即最小值,由此求出实数的取值范围.‎ ‎（2）将函数整理成，要判断是否成立，只需看是否存在零点，即可判断是否成立.‎ ‎【详解】（1）对于一切，恒成立，‎ 即有，‎ 即恒成立，‎ 令，‎ ‎，‎ 当时，，是减函数，‎ 当时，，是增函数，‎ ‎，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎（2）设存在，使得成立，‎ 则，‎ 即，‎ 令①‎ 则，‎ 令，则，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ ‎②‎ ‎，‎ ‎①②中取等号的条件不同，‎ 没有零点，.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数导数解决函数零点、极值、最值问题.‎ 最值与极值的联系：‎ ‎（1）极值是局部概念,只对某个区间有效；最值是全局概念，对整个定义域都有效. ‎ ‎（2）最值一般是极值点、不可导点和端点函数值（可取到的话）中的最大或最小值 .‎ ‎ ‎