广东省顺德区容山中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 18页

容山中学2019-2020学年第二学期期中考试高二年级数学试卷 ‎(考试时间：120分钟 满分150分) 2020.4.18 9:40—11:40‎ ‎ 注意事项：‎ 1． 考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题；‎ 2． 考前15分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上相应答题区域内．‎ 第I卷 选择题 （共60分）‎ 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）‎ 1. 若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．20‎ 2. ‎=（ ）‎ A．31 B．‎32 ‎C．33 D．34‎ 3. ‎（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 下列求导数运算正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 5. 已知函数，则（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ 1. 已知，则（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．-1 D．-2‎ 2. 的展开式中，各项系数之和为（ ）‎ A．-32 B．‎32 ‎C．256 D．-256‎ 3. 从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）‎ A．35 B．‎70 ‎C．80 D．140‎ 4. 若上是减函数，则b的取值范围是（ ）‎ A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）‎ 5. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）‎ 6. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）‎ A．-3是的一个极小值点；‎ B．-2和-1都是的极大值点；‎ C．的单调递增区间是；‎ D．的单调递减区间是．‎ 1. 设函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．定义域是（0，+）‎ B．x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点 第II卷（共90分）‎ 三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）‎ 2. 已知i是虚数单位，则复数对应的点在第________象限．（用一、二、三、四作答）‎ 3. 在的展开式中，的系数为________．‎ 4. 若，则__________．‎ 5. 若直线与曲线相切，则__________．‎ 四、解答题（共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 6. ‎（本小题满分10分）‎ 已知复数．‎ ‎（1）若为实数，求实数的值；‎ ‎（2）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ RSZX将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．‎ ‎（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎（要有必要的文字说明，结果用数字作答）‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 已知在的展开式中第5项为常数项．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中含有项的系数；‎ ‎（3）求展开式中所有的有理项．‎ 3. ‎（本小题满分12分）‎ 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设．‎ ‎ ‎ ‎（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；‎ ‎（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积．‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求在（）处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在[1，4]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数的图像在点处的切线为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 容山中学2019-2020学年第二学期期中考试高二年级数学试卷 ‎ (考试时间：120分钟 满分150分)‎ ‎ 注意事项：‎ 1． 考试时务必诚信作答，在父母的监督下答题；‎ 2． 考前15分钟推送试题，考试结束后迅速将非选择题的答案拍照上传到智学网上相应答题区域内．‎ 第I卷 选择题 （共60分）‎ 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一个是正确的）‎ 1. 若复数，则（ ）‎ A． B． C． D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故．故选：．‎ 2. ‎=（ ）‎ A．31 B．‎32 ‎C．33 D．34‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 3. ‎（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 4. 下列求导数运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于，故选项A不正确；由于，故选项B正确；‎ 由于，故选项C不正确；由于，故选项D不正确．故选：B 1. 已知函数，则（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，对函数，有，‎ 又由，则，则有．故选：B．‎ 2. 已知，则（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．-1 D．-2‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数，则，‎ 令代入上式可得，则，故选：C．‎ 3. 的展开式中，各项系数之和为（ ）‎ A．-32 B．‎32 ‎C．256 D．-256‎ ‎【答案】A ‎【解析】令中，则有各项系数之和为，故选：A．‎ 1. 从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（ ）‎ A．35 B．‎70 ‎C．80 D．140‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得，从9名学生中任选3人，共种情况，若选出的3人都为男生时，有种情况，选出3人都为女生时，有种情况，可得符合题意的选取种数为．故选：B 2. 若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ）‎ A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．‎ 3. 定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，则，‎ ‎，，函数在上单调递减，‎ 又 ，，．故选：A．‎ 二、多选题（本题共2个小题，每小题5分，共10分，每小题的四个选项中，至少有一个是正确的，少答3分，多答错答0分）‎ 4. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）‎ A．-3是的一个极小值点；‎ B．-2和-1都是的极大值点；‎ C．的单调递增区间是；‎ D．的单调递减区间是．‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】当时，，时，‎ ‎∴是极小值点，无极大值点，增区间是，减区间是．故选：ACD．‎ 1. 设函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A．定义域是（0，+）‎ B．x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C．存在单调递增区间 D．有且仅有两个极值点 ‎【答案】BC ‎【解析】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；‎ 由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；‎ 所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；‎ 由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；‎ 故选BC．‎ 第II卷（共90分）‎ 三、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分）‎ 1. 已知i是虚数单位，则复数对应的点在第________象限．‎ ‎【答案】二 ‎【解析】由题意得，已知复数，则设，‎ 即：，则复数所对应的点为，则在第二象限．故答案为：二．‎ 2. 在的展开式中，的系数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的展开式中，所求项为：，的系数为．故答案为:．‎ 3. 若，则__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为，所以，‎ 所以．故答案为:．‎ 4. 若直线与曲线相切，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设切点为，‎ ‎∵，∴由①得，代入②得，则，．‎ 四、解答题（共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 1. ‎（本小题满分10分）‎ 已知复数．‎ ‎（1）若为实数，求实数的值；‎ ‎（2）若为纯虚数，求实数的值；‎ ‎（3）若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．‎ ‎【解析】（1）若为实数，则，； ………………2分 ‎（2）若z为纯虚数，则， ………………4分 解得实数a的值为2； ………………6分 ‎（3）在复平面上对应的点， ………………7分 在直线上，则，即 ………………8分 解得． ………………10分 1. ‎（本小题满分12分）‎ RSZX将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）‎ ‎（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？‎ ‎【解析】（1）先排3个男生，总共有种可能；‎ 再在产生的四个空中，选出3个，将女生进行排列，有种可能，‎ 故所有不同出场顺序有：； ………………4分 ‎（2）先计算全部的排列可能有：，‎ 因为每一次全排列，甲乙都有种可能，故甲和乙定序的排列有：； ………………8分 ‎（3）将3个男生进行捆绑后，总共有4个元素进行排列，‎ 先从甲女生以外的3个元素中选取1个第一个出场，再对剩余3个元素进行全排列，‎ 同时对3个男生也要进行全排列，故所有的可能有 ‎ ‎………………12分 ‎（说明：每问4分，其中文字分析2分、列式子计算2分；下列情况可以不给分：1、只有一个式子或只有一个数字答案，毫无分析文字描述；2、计算式子不正确，答案正确；）‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知在的展开式中第5项为常数项．‎ ‎（1）求的值；（2）求展开式中含有项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．‎ ‎【解析】（1）展开式的通项公式为． ………………2分 因为第5项为常数项，所以时，有，解得． ………………4分 ‎（2）令，由（1），解，故所求系数为 ………………8分 ‎（3）有题意得，，令，则 ……………10分 所以可取，即可取1，4，7，它们分别为，，． ……………12分 1. ‎（本小题满分12分）‎ 如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设．‎ ‎　　　‎ ‎（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；‎ ‎（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积．‎ ‎【解析】长方体盒子长，宽，高．‎ ‎（1）长方体盒子体积， ………………4分 由得，故定义域为． ………………6分 ‎（2）由（1）可知长方体盒子体积 则， ………………8分 在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；‎ 令，解得，故体积V在该区间单调递减； ………………10分 ‎∴在取得极大值也是最大值．此时．‎ 故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为． ………………12分 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，求在（）处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在[1，4]上有两个不同的零点，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）因为 ，所以， ………………2分 所以， ………………4分 又因为切点为（1，），所以切线的方程为； ………………6分 ‎（2）若函数在[1，4]上有两个不同的零点，可得在[1，4]内有两个实根，‎ 设，， ………………7分 当时，递减，当时，递增， ………………9分 由，，，‎ 画出的图象，如图所示：‎ ‎ ………………11分 可得，解得． ………………12分 1. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数的图像在点处的切线为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）， ………………1分 由已知得解得，故． ………………3分 ‎（2）令，由得． ………………4分 当时，，单调递减； ………………5分 当时，，单调递增． ………………6分 ‎∴，从而． ………………7分 ‎（3）对任意的恒成立对任意的恒成立．…………8分 令，‎ ‎∴ ‎ ‎………………9分 由（2）可知当时，恒成立 令，得；得． ……………10分 ‎∴的增区间为，减区间为，， ……………11分 ‎∴，∴实数的取值范围为． ……………12分