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- 2021-05-11 发布
黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考
数学试题（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合则( )
A. B. C. D.
2.已知复数在复平面内对应点是,为虚数单位,则 ( )
A. B. C. D.
3.是两条不同的直线，是平面，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，且，则实数（ ）
A. 1 B.-1 C. D.
6.在等差数列中，，则数列的前11项和 ( )
A. 8 B. 16 C. 22 D. 44
7..函数的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.
根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
9若直线经过椭圆的一个焦点，且椭圆的长轴长与短轴长的比值为，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
10.函数(其中)的图象如图所示,其中
的面积为,为了得到函数的图象,需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
11.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知分别是双曲线的左,右焦点,过点作的一条切线,切点为P,且交双曲线C的右支点Q,若,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物．
甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”．
如果三人中只有一人说的是真的，那么________（填“甲”“乙”或“丙”）获得了礼物．
14.若实数满足约束条件，则的最小值等于 .
15.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为 .
16.已知数列的前n项和为，，且 (为常数)，若数列满足，且，则满足条件的n的取值集合为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．（本小题12分）
2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣。
(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没兴趣
合计
男
55
女
合计
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率。
附表:
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
18.已知点P为内一点，满足，，.
(1)求的面积.
(2)若P关于的对称点为Q，且，，求的值.
19.如图，在四面体ABCD中，AC＝6，BA＝BC＝5，AD＝CD＝3.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)当四面体ABCD的体积最大时，求点A到平面BCD的距离．
20.已知点F是抛物线 的焦点，若点 在抛物线C上，且
求抛物线C的方程；
动直线与抛物线C相交于两点，
问：在x轴上是否存在定点（其中），使得x轴平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数是自然对数的底数），是函数的一个极值点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)．曲线C的方程为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线的普通方程与曲线C的极坐标方程；
(2)直线与直线交于点A，点B是曲线C上一点，求面积的最大值．
23.已知函数
(1)解关于的不等式;
(2)若的解集非空,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
A
A
B
C
B
C
D
B
D
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13．甲 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17.解：（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
根据列联表中的数据，得到,
因为,所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为，对冰球没有兴趣的2人为，
则从这5人中随机抽取3人，共有10种情况，
其中3人都对冰球有兴趣的情况有1种，2人对冰球有兴趣的情况有6种，
所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，
所以，所求事件的概率.
18. 解：(1)在中，由余弦定理，得，
得，即，
解得或 (舍去)，从而
(2)设，由对称性知
在中，由正弦定理，得，得,
则，从而，，
.
19.(1)证明：取AC的中点O，连接OB与OD，∵BA＝BC，
∴AC⊥OB ∵AD＝CD，∴AC⊥OD，又OD∩OB＝O，
∴AC⊥平面OBD，又BD⊂平面OBD，∴AC⊥BD.
(2)由题可知，当四面体ABCD的体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，∵DO⊥AC，
∴DO⊥平面ABC，又OB⊂平面ABC，∴DO⊥OB，
∵DA＝DC＝3，AC＝6，AB＝BC＝5，∴OD＝＝＝3，
OB＝＝＝4，∴DB＝＝＝5，
又BC＝5，
∴在△BCD中，CD边上的高h＝＝＝，
∴S△BCD＝×CD×h＝×3×＝，S△ABC＝×AC×OB＝×6×4＝12.
设点A到平面BCD的距离为d，∴VABCD＝VDABC，即S△BCD×d＝S△ABC×OD，
∴d＝＝＝，∴点A到平面BCD的距离为.
20.解：抛物线的焦点为，准线方程为，
即有，即，则，解得，则；
在x轴上假设存在定点（其中），因为x轴平分，
设，，联立和，得，
恒成立． ，
设直线DA、DB的斜率分别为，，则由得，
，
∴， 联立，得，
故存在满足题意，综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
21.（1），
∵是函数的一个极值点，∴，解得
则．令，解得或，
故函数的单调递增区间为和．
（2）不等式，可化为，记，
当时，恒成立，则在R上递增，没有最小值，故不成立；
当时，令，解得，当时，；当时，，
当时，函数取得最小值，
即，则
令，
则，当时，；当时，，
故当时，取得最大值，所以，即的最大值为．
22.解：(1)由得代入整理得：
直线的普通方程为,又
曲线C的极坐标方程为
(2).由得,设，则
的面积
,
23.解：(1)原不等式可化为:
即: 或由得或
由得或综上原不等式的解为或
(2)原不等式等价于的解集非空,
令,即,由,
所以,所以.