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- 2021-05-11 发布
高三数学
一、选择题
1.设集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合，利用交集的定义求解即可.
【详解】由题意,得，
，则，故选C.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.已知表示虚数单位,则复数的模为
A. B. 1 C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数模的公式求解即可.
【详解】，
，故选A.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3.数列是等差数列，，，则（ ）
A. 16 B. -16 C. 32 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依据条件求出公差，由通项公式即可求出。
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
可得，故选D.
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用。
4.已知,则（ ）
A B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
已知利用同角三角函数的基本关系求出，再由两角差的正弦公式求出的值。
【详解】解：
由
且
故选：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式，解答的关键是凑角，属于基础题。
5.设为正实数，且满足，下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为2
C. 的最小值为4 D. 的最大值为
【答案】B
【解析】
，
，得，
故选B。
点睛：本题考查基本不等式的应用。求的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则；求的最值，是基本不等式的公式直接应用，得。
6.若两个非零向量、，满足，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先对等式平方得到，模长关系为：，再利用夹角公式计算向量与的夹角得到答案.
【详解】若两个非零向量、，满足
分别平方：
故答案选C
【点睛】本题考查了向量计算，向量的夹角公式，属于常考题型，意在考查学生的计算能力.
7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和，则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道,若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“调日法”进行计算，即可得出结论．
【详解】解：由调日法运算方法可知，
第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，
第二次用“调日法”后得是更为精确的不足近似值，即，
第三次用“调日法”后得是更为精确的过剩近似值，即，
故第三次“调日法”后得到为的近似分数．
故选：．
【点睛】本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．
8.如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数． 例如，．那么“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 充要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由取整定义可先确定的取值范围，求出的范围，可证充分条件成立；必要条件的验证则可通过列举反例来推翻
【详解】若，可设，，
又， 即成立，充分条件成立；
若，如满足，但，，故必要条件不成立；
所以“”是“”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题考查新定义的理解，命题的充分和必要条件的判断，属于基础题
9.已知函数满足下面关系：①；②当时，
，则方程 解的个数是( )
A. 5 B. 7
C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
由题意可知，是以为周期，值域为的函数
，则，画出两函数图象
则交点个数即为解的个数
由图象可知共个交点，故选
10.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）
A. 1 B. -5或3 C. D. -2
【答案】D
【解析】
试题分析：由于，故函数的一条对称轴是，故是的一个零点，故．
考点：三角函数图象与性质．
11.已知数列的首项，满足，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.
【详解】,
,
两式相加有；
且，，
，故答案为C.
【点睛】由数列递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.
12.定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造新函数，求导后利用已知判断导数的正负，确定的单调性，然后解不等式．
【详解】设，则，∵且，∴，即在上是增函数，不等式可化为，即，∴，．
故选C．
【点睛】用导数解不等式，常常要构造新函数，新函数的形式一方面与已知不等式有关，最主要的是与待求解不等式有关，根据待求解不等式变形后化为形式，则随之而定，如，，，，，等等．
二、填空题
13.命题“”的否定是______________________.
【答案】
【解析】
因为命题“”的否定是“”
所以命题“”的否定是
14.设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________．
【答案】
【解析】
由可得
，，
，
又∵，
∴，，，
又∵，
∴，
即，
∴．
15.设，则在上的单调递增区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先将化简，得，先求出函数单调递增区间的通式，再结合，即可求解
【详解】由，
令
又，当时，，故函数在上的单调递增区间为
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，正弦型三角函数单调区间的求法，属于基础题
16.在锐角中，分别为角所对的边，满足,且的面积,则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
由，结合正弦定理可得，
，是锐角三角形，，即，，
，，，，，故答案为.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
三、解答题
17.已知函数，且.
（1）求的值；
（2）若在区间上是单调函数，求的最大值.
【答案】(1) . (2)
【解析】
【分析】
（1）利用两角差的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据求出的值。
（2）由（1）可求函数的单调区间，再结合函数在区间单调，即可求出的最大值.
【详解】解：（1）
.
因为,
所以.
（2）因为函数的增区间为.
由，
所以
所以函数的单调递增区间为.
因为函数在上是单调函数，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查的相关性质，关键是利用三角恒等变换将函数变形，属于一般题。
18.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．
【答案】（1）A＝60°；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；
(2)利用三角形内角关系求出，结合正弦定理求出关系，利用余弦定理可求.
【详解】(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，
即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.
在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.
(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.
由正弦定理得，.
设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.
【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键.
19.已知数列的前项和为，且.
（1）求的值；
（2）设，证明数列为等比数列，并求出通项公式.
【答案】(1) ; ; ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）分别令 ，求解即可；
（2）根据，求得，令，利用等比数列的定义即可证明.
试题解析：
(1) 当时，由，得；当时，由，可得；当时，由，得.
(2) 因为，，所以，两式相减，得.
把及，代入 式，得，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.
20.已知数列与满足.
（1）若，求数列通项公式；
（2）若且数列为公比不为1的等比数列，求q的值，使数列也是等比数列；
（3）若且，数列有最大值M与最小值，求的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
（1）代入已知条件，即可得到数列为等差数列，可求通项公式。
（2）利用迭代，用含的式子表示，根据为等比数列，求出的值。
（3）利用累加法可证单调递增且单调递减即可得到数列的最大项与最小项，即结合即可求出的取值范围。
【详解】解：（1）由且得，所以数列为等差数列.
又，所以：
（2）由条件可知，
所以
不妨设的公比为，则，
由是等比数列知：可求出
经检验，，此时是等比数列，所以满足条件：
（3）由条件可知，
所以
即，
，因为，
所以，则单调递增
，则单调递减；
又，所以数列的最大项为，
所以数列的最小项为.
则，
因为，所以，所以.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，累加法的应用，属于难题。
21.设函数．
(1)若是函数的一个极值点，试求的单调区间；
(2)若且，是否存在实数a，使得在区间上的最大值为4?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）确定函数的定义域，求出导函数，根据是极值点则得到，代入导函数消去，对参数分类讨论。
（2）若且可分析出函数的单调性，即可判定在区间的最大值为中的较大者，构造函数比较的大小，即可求出实数的值。
【详解】解：（1）函数的定义域为
是函数的一个极值点，
，即
①当时，令得,令,得，
故的增区间为,减区间为；
②当时，令得或,令得.
故的增区间为减区间
③当时，不符合题意；
④当时，令得或，令得
故的增区间为减区间
（2）当时，
,∴当，故为减函数
∴当时，最大值为中的较大者
设，
，
即在区间上为增函数，即
，
故存在实数,使得在区间上的最大值为4．
【点睛】本题考查含参函数的单调区间的求解，函数最值与导数，属于综合题。
22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数，)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
(2)若点P在直线l上，点Q在曲线C上，求的最小值．
【答案】(1) ； (2)
【解析】
【分析】
（1）将直线l参数方程消参化为普通方程，曲线C的参数方程转化为普通方程，然后再化为极坐标方程。
（2）由（1）可知曲线为圆心为，半径为的圆，利用圆心到直线的距离减去半径得到距离最小值。
【详解】解：（1）由消去参数得：，直线的普通方程为
由消去参数得：，即：，
化为极坐标方程为
（2）因为圆心到直线的距离等于，且圆的半径等于1，
所以
【点睛】本题考查参数方程化成普通方程，点到直线的距离公式，属于基础题。
23.已知函数，且关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由表示出即可解，又已知不等式的解集，则对应相等，得到关于的方程组，解得。
（2）利用绝对值不等式的性质证明。
【详解】（1）解：
解得
又因为的解集为
所以 解得
（2）证明：
（当且仅当即时等号成立）
故
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式的应用，属于中档题。