- 1.02 MB
- 2021-05-11 发布
【概述】1.函数与方程思想的含义
(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数 中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程思想就是分析数 问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.
(3)方程思想与函数思想密切相关 方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
2.函数与方程思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y>0时,可转化为不等式f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和都是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.
3.高考把函数与方程思想作为思想方法的重点 考查,特别是在有关函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等题目中.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识 络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查.
应用一 函数与方程思想在方程、不等式中的应用
例1.已知方程cos2x-sin +a=0在上有解,求a的取值范围.
【答案】(-1,1]. | | ]
例2.设函数f(x)=x2-1,对任意x∈，恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】∪.
【解析】解法一 不等式化为f(x-1)+4f(m)-f+4m2f(x)≥0,
即(x-1)2-1+4m2-4-+1+4m2x2-4m2≥0,
整理得x2-2x-3≥0.
因为x2>0,所以1-+4m2≥.
设g(x)=,x∈. *
于是题目化为1-+4m2≥g(x)对任意x∈恒成立的问题.
为此需求g(x)=,x∈的最大值.
设u=,则01)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.
【答案】 (1)B；(2)(，2).
则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，则满足即
解得