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- 2021-05-11 发布
2018-2019学年内蒙古北京八中乌兰察布分校高一下学期期中考试数学试题
（ 分值：150分 时间：120分钟 ）
一、选择题：（本题共12小题, 每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）
1. 已知α为第二象限角，则在（ ）
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限
2. 直线x+2ay-1=0与（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为（ ）
A. B. 或0 C. 0 D. 或0
3. 利用计算机在区间（，2）内产生随机数a，则不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 若扇形的周长为4cm，半径为1cm，则其圆心角的大小为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
5. 如图程序框图是为了求出满足3n-2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
6. 直线恒过定点M，则直线关于M点对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
7. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率是（ ）
A. B. C. D.
1. 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知圆M：x2+y2-2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与
圆N：（x-1）2+（y-1）2=1的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
3. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：40至8：10之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）
A. B. C. D.
4. 平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 过定点A的直线x-my=0（m∈R）与过定点B的直线mx+y-m+3=0（m∈R）交于点P（x，y），则|PA|2+|PB|2的值为（ ）
A. B. 10 C. D. 20
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
6. 点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是
7. 若圆与圆相交于点A，B，则|AB|= ______ ．
8. 记函数定义域为在区间上随机取一个数x，则的概率是______．
9. 如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为______．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分）
10.
如图，单位正方形ABCD，在正方形内（包括边界）任取一点M，求：
（1）△AMB面积大于等于的概率；
（2）求AM长度不小于1的概率．
1. 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α=，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
2. 某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．
组号
分组
回答正确
的人数
回答正确的人数
占本组的概率
第1组
[15，25）
5
0.5
第2组
[25，35）
a
0.9
第3组
[35，45）
27
x
第4组
[45，55）
b
0.36
第5组
[55，65）
3
y
（1）分别求出a，b，x，y的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
3.
已知直线l经过两条直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．
1. 已知关于x，y的方程C：．
若方程C表示圆，求m的取值范围；
若圆C与圆外切，求m的值；
若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m的值．
2. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x．
（1）求f（0）及f（f（1））的值；
（2）求函数f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（3）若关于x的方程f（x）-m=0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
二调数学答案和解析
1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】B
7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】B
13.【答案】（-，） 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】2
17.【答案】解：（1）设正方形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，
设三角形AMB的高为h，则当）△AMB面积大于等于时，，
即h=，即当点M落在中位线EF上时，△AMB面积大于等于，
因此，当点M落在矩形CDEF内部，可使△PAB的面积大于等于，
∴△PAB的面积大于等于的概率为P=．
（2）当AM长度=1，则M位于以1为半径的圆上，
则则AM长度不小于1，则M位于阴影部分，
则对应的概率P==．
18.【答案】解：（1）l=10×=（cm）．
（2）由已知得：l+2R=20，
所以S=lR=（20-2R）R=-（R-5）2+25．
所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad．
（3）设弓形面积为S弓，由题知l=cm，
S弓=S扇-S△=××2-×22×sin =-（cm2）．
19.【答案】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；
第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；
第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；
第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；
第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．
（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，
所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．
（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，
则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），
（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），
其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），
故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．
20.【答案】解：（1）由题意知，解得，
∴直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点为（2，1）；
设直线l的斜率为k，∵l与直线x+y-2=0垂直，∴k=1；
∴直线l的方程为y-1=（x-2），
化为一般形式为x-y-1=0；
（2）设圆C的半径为r，则圆心为C（3，0）到直线l的距离为
d==，
由垂径定理得r2=d2+=+=4，
解得r=2，
∴圆C的标准方程为（x-3）2+y2=4．
21.【答案】解：（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；
（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16
，
所以圆心坐标为（4，6），半径为4，
则两圆心间的距离d==5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r，即4+=5，解得m=4；
（3）因为圆心C的坐标为（1，2），
所以圆心C到直线l的距离d==，
所以=（|MN|）2+d2，即5-m=1，解得m=4．
22.【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则f（0）=0，f（1）=1-2=-1，
又由函数f（x）为偶函数，则f（-1）=f（1）=-1，
则f（f（1））=f（-1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，
则有f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，
又由函数f（x）为偶函数，
则f（x）=f（-x）=x2+2x，
则当x＜0时，f（x）=x2+2x，
即函数f（x）在（-∞，0）上的解析式为f（x）=x2+2x(x<0)；
（3）若方程f（x）-m=0有四个不同的实数解，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，
当x=-1或1时，f(x)取最小值为-1，而y=f（x）的图象如图：
分析可得-1＜m＜0. 故m的取值范围是（-1，0）．