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- 2021-05-11 发布
内蒙古海拉尔市第二中学2018-2019学年高一下学期期末考试
高一数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题（共60分，每题5分）
1.已知角的终边经过点，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.
考点：三角函数的概念.
2.已知角是第三象限的角,则角是( )
A. 第一或第二象限的角 B. 第二或第三象限的角
C. 第一或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
【答案】D
【解析】
【分析】
可采取特殊化的思路求解，也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四，则标有三的即为所求区域.
【详解】(方法一)取,则,此时角为第二象限的角;取,则,此时角为第四象限的角.
(方法二)如图,
先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四,
则标有三的区域即为角的终边所在的区域,
故角为第二或第四象限的角.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据所在象限求所在象限的方法，属于中档题.
3.在中，，．若点满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：，故选A．
4.等比数列中，，则等于是（ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
利用等比数列通项公式直接求解即可.
【详解】因为是等比数列，所以.
故选：B
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.
5.在ABC中，．则的取值范围是（ ）
A. （0，] B. [，） C. （0，] D. [，）
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：
由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用.
6.已知两个单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A. 方向上的投影为 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：A．方向上的投影为，即，所以A正确； B．，所以B错误；
C．，所以，所以C正确；
D．，所以．D正确．
考点：向量的数量积；向量的投影；向量的夹角．
点评：熟练掌握数量积的有关性质是解决此题的关键，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”这条性质．
7.为了得到函数的图像，只需把函数的图像
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
【答案】B
【解析】
试题分析：记函数，则函数∵函数f（x）图象向右平移单位，可得函数的图象∴把函数的图象右平移单位，得到函数的图象,故选B.
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
8.函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,函数的最小正周期为 ，选.
【点睛】求三角函数的最小正周期，首先要利用三角公式进行恒等变形，化简函数解析式，把函数解析式化为的形式，然后利用周期公式求出最小正周期 ，另外还要注意函数的定义域.
9.如图所示，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是60m，则河流的宽度等于（ ）
A. m B. m C. m D. m
【答案】A
【解析】
【分析】
在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数求出的长，最后利用进行求解即可.
【详解】在直角三角形中，.
在直角三角形中，
.
所以有.
故选：A
【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，考查了数学运算能力.
10.在等差数列中，，则数列前项和取最大值时，的值等于（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
【答案】C
【解析】
试题分析：
最大，
考点：数列单调性
点评：求解本题的关键是由已知得到数列是递减数列，进而转化为寻找最小的正数项
11.若且，则的最小值是（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 16
【答案】D
【解析】
试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为16
考点：均值不等式求最值
12.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.
【详解】，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有
当时，有最小值，最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查了余弦型函数图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.
二、填空题（共20分，每题5分）
13.已知，则_________.
【答案】
【解析】
由题意可得：
点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；
注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．
14.在中,,,,是的中点,则__________．
【答案】6
【解析】
由于 ，则
.
【点睛】平面向量问题的解法有两种思路，一应用平面向量的加法、减法、数乘运算把向量进行线性表示后进行计算，另一种思路是建立直角坐标系，通过坐标运算解答.本题使用前一种方法，由于的模和夹角已知，因此利用借助向量减法表示出，然后计算数量积 .
15.已知向量，，，则________
【答案】5
【解析】
【分析】
本题首先可以根据得出，然后根据得出，最后通过化简即可得出结果。
【详解】因为，所以，
因为，所以，
即，。
【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题。
16.设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，
则取值范围是__________________ .
【答案】d≤或d≥
【解析】
试题分析：由题设知（5a1+10d）（6a1+15d）=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，由此导出d2≥8，从而能够得到d的取值范围．解：因为S5S6+15=0，所以（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，故△=（9d）2-4×2×（10d2+1）=d2-8≥0，∴d2≥8，则d的取值范围是d≤
或d≥
考点：等差数列
点评：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意通项公式的合理运用
三、解答题（共70分）
17.已知函数.
（1）求的值；
（2）设，求 的值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）直接带入求值；
（2）将和直接带入函数，会得到和的值，
然后根据的值．
试题解析：解：（1）
（2）
考点：三角函数求值
18.已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.
试题解析：
（1），又
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，设， ①
则， ② 由①-②得
，.
又.数列的前项和.
考点：配凑法求通项，错位相减法.
19.已知函数．
（1）求（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）,的增区间是．（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．
试题解析：（1）因为－1＝－1
，故最小正周期为
得
故的增区间是．
（2）因，所以．
于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值－1．
考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区间的最值．
20.已知分别为三个内角的对边长，且
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值，化简等式进行求解即可
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、重要不等式进行求解即可
【详解】（1）由正弦定理可知：
，
，，
所以可得：，；
（2）由余弦定理可知：，由
可知：，所以，所以面积的最大值为
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了重要不等式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.
21.已知向量.
（1）求的值；
（2）若，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；
（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出
的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可.
【详解】（1）
；
（2）因为，所以，而，
所以，因为，，所以
.
因此有.
【点睛】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.