高中数学第一章1-2-4函数的最大值练习新人教B版选修2-2 6页

湖南省新田县第一中学高中数学 第一章 1.2.4 函数的最大值练习 新人教 B 版选修 2-2 班级___________ 姓名___________学号___________ 1．函数 y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是 ( )． A．0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 2．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是( )． A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，1) D. 0，1 2 3．设 f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在 x＝1 和 x＝－1 处均有极值，则下列点中一定在 x 轴上 的是 ( )． A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c) 4．已知函数 f(x)＝2x3－6x2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值 3，那么此函数在[－2,2] 上的最小值为 ( )． A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 5．函数 y＝x＋2cos x 在区间 0，π 2 上的最大值是________． 6．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈ －π 2 ，π 2 的最大、最小值分别是________． 7．函数 f(x)＝ 4x x2＋1 ，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． 8．如果函数 f(x)＝x3－3 2 x2＋a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的最小值 是________． 9．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 10．已知函数 f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值． 1．函数 y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是 ( )． A．0 B.1 e C.4 e4 D.2 e2 解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 y′＝0，∴x＝1， ∴f(0)＝0，f(4)＝4 e4，f(1)＝e－1＝1 e ，∴f(1)为最大值，故选 B. 答案 B 2．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围是 ( )． A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，1) D. 0，1 2 解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令 f′(x)＝0，可得 a＝x2， 又∵x∈(0,1)，∴0f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小 值为 f(－2)＝－37. 答案 A 9．函数 f(x)＝ 4x x2＋1 ，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________． 解析 ∵y′＝4 x2＋1 －2x·4x x2＋1 2 ＝ －4x2＋4 x2＋1 2， 令 y′＝0 可得 x＝1 或－1. 又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝8 5 ，f(－2)＝－8 5 ， ∴最大值为 2，最小值为－2. 答案 2 －2 10．如果函数 f(x)＝x3－3 2 x2＋a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的最小值 是________． 解析 f′(x)＝3x2－3x， 令 f′(x)＝0 得 x＝0，或 x＝1. ∵f(0)＝a，f(－1)＝－5 2 ＋a， f(1)＝－1 2 ＋a，∴f(x)max＝a＝2. ∴f(x)min＝－5 2 ＋a＝－1 2 . 答案 －1 2 11．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)＜0，解得 x＜－1 或 x＞3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， ∴f(2)＞f(－2)． 于是有 22＋a＝20，∴a＝－2. ∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2. ∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增． 又由于 f(x)在[－2，－1]上单调递减， ∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即 f(x)最小值为－7. 12．(创新拓展)已知函数 f(x)＝x2e－ax(a>0)，求函数在[1,2]上的最大值． 解 ∵f(x)＝x2e－ax(a>0)， ∴f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)． 令 f′(x)>0，即 e－ax(－ax2＋2x)>0， 得 02 时，f(x)在(1,2)上是减函数， ∴f(x)max＝f(1)＝e－a. 当 1≤2 a ≤2，即 1≤a≤2 时， f(x)在 1，2 a 上是增函数， 在 2 a ，2 上是减函数， ∴f(x)max＝f 2 a ＝4 a2e－2. 当2 a >2，即 02 时，f(x)的最大值为 e－a.