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- 2021-05-10 发布
母题十八 数列的通项公式及前n项和
【母题原题1】【2018天津，理18】
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列． 已知，，，．
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明．
【考点分析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力．满分13分．
【答案】（I）；（II）（i）．（ii）证明见解析．
【解析】试题分析：（I）由题意得到关于的方程，解方程可得，则．结合等差数列通
设等差数列的公差为，由，可得由，
可得 从而 故
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故．
（ii）证明：，
．
【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查 生的转化能力和计算求解能力．
【母题原题2】【2017天津，理18】
已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
联立①②，解得，，由此可得．
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（Ⅱ）设数列的前项和为，由，，有，
故，
，
上述两式相减，得：
，得．
所以，数列的前项和为．
【考点】等差数列、等比数列、数列求和_ _
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．
【母题原题3】【2016天津，理18】
已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项．
(Ⅰ)设，求证：是等差数列；
(Ⅱ)设 ，求证：
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
，易得结论．
试题解析：（I）证明：，为定值，∴为等差数列．
（II）证明：（ ）
由已知，将代入（ ）式得，∴，得证．
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型
（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．
（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
【母题原题4】【2015天津，理18】
已知数列满足，且成等差数列．
(I)求的值和的通项公式；
(II)设，求数列的前项和．
【答案】(I) ； (II) ．
当时，，
所以的通项公式为
(II) 由(I)得，设数列的前项和为，则
，
，
两式相减得，
整理得，所以数列的前项和为．
【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和．是中档题．
【命题意图】 高考对本部分内容的考查基础知识为主，重点考查求数列的通项公式和数列求和问题．
【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有：其一求数列的通项公式，其二数列求和，其三证明数列成等差数列或成等比数列．
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：求数列 的通项公式：本题从等比数列入手，由于，设公比为，表达出和，利用列方程求出，写出的通项公式；
第二步：求数列 的通项公式：借助第一步的结果，由于数列成等差数列，设公差为，结合，解方程组求出和，写出数列的通项公式．
第三步：利用错位相减法求和： 列出数列的前n项和，两边同乘以4，两式相减后求和．
【方法总结】
1．数列中 与的关系：an＝
2． 等差数列
（1）等差数列的有关概念
①定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为为常数．
②等差中项：数列成等差数列的充要条件是，其中叫做的等差中项．
（2）等差数列的有关公式
①通项公式：．
②前项和公式：．
（3）等差数列的性质
已知数列是等差数列，是其前项和．
①通项公式的推广：．
②若，则．
③若的公差为，则也是等差数列，公差为．
④若 是等差数列，则也是等差数列．
⑤数列，…构成等差数列．
（4）． 妙设等差数列中的项
若奇数个数成等差数列，可设中间三项为；
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
（5）等差数列的四种判断方法
①定义法：为常数⇔是等差数列．
②等差中项法： (n∈N )⇔是等差数列．
③通项公式： (为常数)⇔ 是等差数列．
④前n项和公式：（ 为常数)⇔ 是等差数列．
3．等比数列 ，
（1）等比数列的有关概念
①定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为．
②等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
（2）等比数列的有关公式
①通项公式：．
②前项和公式： ；
（3）等比数列的性质
已知数列是等比数列，是其前n项和．(m，n，p，q，r， ∈N )
①若，则；
②数列…仍是等比数列；
③数列，…仍是等比数列(此时{an}的公比)．
（4）等比数列的三种判定方法
（1）定义：⇔是等比数列．
（2）通项公式：均是不为零的常数， ⇔是等比数列．
(3)等比中项法：⇔是等比数列．
（5）求解等比数列的基本量常用的思想方法
①方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
②分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论．
5．数列求和的常用方法
（1）公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d；
等比数列的前n项和公式：Sn＝
（2）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
（5）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
1．【2018天津南开中 模拟】已知数列是首项的等差数列，设．
（1）求证：是等比数列；
（2）记，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）11．
详解：（1）由及，得，所以．
因为，所以，即．
则，所以数列是首项，公比的等比数列．
（2）由（1），得，所以
（3）因为，
则问题转化为对任意正整数使不等式恒成立．
设，则
．
所以，故的最小值是/．
由，得整数可取最大值为11．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有用定义证明等比数列，对数的运算，裂项相消法求和，恒成立问题求有关参数的取值范围和最值问题，在解题的过程中，注意对公式的正确使用以及对问题的正确理解．
2．【2018天津河西区三模】已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】分析：（1）利用进行求解；（2）利用类似的方法求出，进而求出，再利用等比数列的求和公式进行求解．
相减可得：，又，解得，时，对上式也成立，
∴ ，∴ ，∴ 数列的前项和．
【名师点睛】利用数列的通项公式和前项和公式的关系求通项时，要注意为分段函数，解题时容易忽视验证“”的通项是否满足的通项．
3．【2018天津部分区二模】已知数列的奇数项依次成公比为2的等比数列，偶数项依次成公差为4的等差数列，数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】分析：（I）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．由已知，，可得，为奇数时，，为偶数时，；
（II）由（1）知．为偶数时，，
为奇数时，．
详解：（1）设数列的奇数项的公比为，偶数项的公差为．
由已知，得．
∵，∴，解得
为奇数时，；为偶数时，，
∴
（2）由（1）知即
为偶数时，
为奇数时，，
．
【名师点睛】本题考查数列的性质和综合运用，分类讨论思想，难度较大．解题时要认真审题，仔细解答．
4．【2018天津河东区二模】已知等比数列满足条件，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，，求的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：
第一问首先利用等比数列的通项公式得到数列的首项和公比所满足的条件，从而求得相关的值，得到该数列的通项公式；第二问利用和与项的关系，得到，，再将时的情况进行验证，得到，，之后应用错位相减法对数列求和即可得结果．
详解：（1）设的通项公式为，
综上，
①
②
由①-②得到
，
【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式与求和的问题，在求解的过程中，注意对等比数列的通项公式的应用，得到题中的数列的首项和公比所满足的条件，从而求得结果；再者就是利用和与项的关系求通项的时候，需要对首项进行验证，在应用错位相减法求和时，需要明确步骤应该怎么写．
5．【2018天津河北区二模】已知等差数列{}中，=1，且，，成等比数列．
（I）求数列{}的通项公式及前n项和；
（II）设，求数列{}的前2n项和．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】分析：（Ⅰ）设等差数列{}的公差为d，由题意可求得，故可得数列的通项公式和前n项和公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，故选用分组求和的方法将数列{}的项分为计数项和偶数项两部分后再求和．
详解：（I）设等差数列{}的公差为d，
∵，且，，成等比数列，
∴，
∴当n为偶数时，，
当n为奇数时， ．
∴数列{}的奇数项是以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列．
∴数列{}的前2n项的和
．
【名师点睛】（1）等差、等比数列的运算中，要注意五个量之间的关系，根据条件得到方程（或方程组），通过解方程（方程组）达到求解的目的．
（2）数列求和应从通项入手，若通项符合等差数列或等比数列，则直接用公式求和；若通项不符合等差或等比数列，需要通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列求解．当数列的通项中含有或的字样时，一般要分为n为奇数和n为偶数两种情况求解．
6．【2018天津十二校二模】已知数列的前项和满足：，（为常数，，）．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，．若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
详解：（1）
且
数列是以为首项，为公比的等比数列
（2）由得，
因为数列为等比数列，所以，
，
所以，
解得．
【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
（1）；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
7．【2018天津滨海新区七校模拟】已知数列的前项和为，满足 ()，数列满足 ()，且
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）， ；（2）；（3）
【解析】试题分析：（1）两边同除以，得，可求得．用公式，统一成，可求得．（2）由（1），代入得 ，由并项求和可得．（3）由（1）由错位相减法可求得，代入可求．
当时， ，所以．
当时， ， ，
两式相减得，又，所以，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为．
（2）
=
（3）由（1）得，
，
因为 ，从而数列为递增数列
所以当时， 取最小值，于是．
【名师点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前n项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好．
8．【2018天津十二模拟一】已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足， ，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设， 为的前项和，求．
【答案】（1）， ；（2）．
【解析】试题分析：（1）由，可推出， ，结合，即可求出数列的通项公式，再将两边同除以得，可推出数列为等差数列，从而可求出的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和，裂项相消法及错位相减法即可求出．
（2）由（1）知
∴
设， 则， 两式相减得， 整理得．
∴．
【名师点睛】（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
9．【2018天津十二模拟二】已知正项等比数列，等差数列满足，且是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
又，则：，解得或
因为中各项均为正数，所以，进而．
故．
（2）设
设数列的前项和为，数列的前项和为，
当为偶数时，，
当为奇数时， ，
而 ①，
则②，
由①-②得：
，
，因此， 综上：．
10．【2018天津部分区期末考】已知为等差数列，且，其前8项和为52，
是各项均为正数的等比数列，且满足， ．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）， ；（2）
【解析】试题分析：
立，然后根据可得结果．
试题解析：
（1）设等差数列的公差为，
由题意得，即，解得，
所以．
设各项均为正数的等比数列的公比为，则有，解得，所以．
（2）由（1）可知
．
，
因为对任意正整数，都有成立，即对任意正整数恒成立，
又，所以．故实数的取值范围为．
11．【2018天津一中期中考】设数列的前项和为，满足， ，且．
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式
【答案】（Ⅰ）， ； （Ⅱ）见解析．
【解析】分析：（Ⅰ）分别令就可以求得， ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）猜测，利用数 归纳可证明该猜测．
详解：(Ⅰ) ， ．
（Ⅱ）由题意得，
结合①②，由归纳原理知，对任意， ．
【名师点睛】与自然数有关的问题，可以用数 归纳法，在归纳假设中，我们一般设当时，命题成立，也可以假设时，命题成立，然后再证明， 也成立．
12．【2018天津滨海新区模拟】已知数列的首项前项和为，且
（I）证明数列是等比数列；
（II）令 求函数在点处的导数并比较 与
的大小。
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项递推关系，再根据题意变形为，最后根据等比数列定义给以证明（2）先求导数得，根据分组求和法以及错位相消法化简，最后作差并利用二项式定理比较大小
试题解析：（1）由已知可得两式相减得
即从而
当时所以又所以从而．故总有， 又从而即数列是等比数列。
（2）由（I）知。
因为所以
从而=
=-=
由上-
==12①
当时，①式=0所以；
当时，①式=-12所以
当时， ，又 ，
所以即①从而 ．
13．【2018天津一中月考五】已知数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．
（1）设，因为 ，
所以数列是以即为首项，以为公比的等比数列．
（2）由（1）得 ，即，
显然当时，单调递减，又当时，，当时，，所以当时，； ，同理，当且仅当时，，
综上，满足的所有正整数为和．
【名师点睛】本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n项和的正整数的最大值的求法，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
14．【2018天津耀华中 】等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且，．
（）求与．
（）求数列的前项和．
（）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（），（）（）
【解析】试题分析：（1）由条件得，解方程即可；
（2）利用错位相减即可得解；
（3）由，利用裂项相消求和，只需即可．
试题解析：（）设公差为，公比为．
．．
（），∴，
∴．
∴，即恒成立，∴，则，∴．
【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
15．【2018天津一中月考三】数列的前项和为，若， 和满足等式．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可证数列是等差数列，从而求出的值；（Ⅱ）求出，利用当时， ，求出的通项公式；（Ⅲ）利用错位相减法，求出数列的前项和．
试题解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，
∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴．
两式相减，整理可得．
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．