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- 2021-05-10 发布
阆中中学校高 2018 级 2020 年秋第三学月教学质量检测
数学试题（文）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 0,1 2 3A ，， ， 1 xNxB ，则 BA 等于
A． 1,0 B． 1,1 C．1 D． 1,1
2. 在复平面内，复数 2
1
i
i
(i 为复数单位)对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 )9,(),4,2(),1,1( xCBA ,且 ACAB // ,则 x =
A．3 B．2 C．1 D．-1
4. ”是“ baba 2.02.0 loglog 的
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
5. 已知 tan 2 ，则 sin 2 2
A． 3
5
B． 4
5
C． 3
5- D． 4
5
6. 双曲线 :C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的右焦点为 3,0F ，且点 F 到双曲线 C 的一条渐
近线的距离为 1，则双曲线 C 的离心率为
A． 2 B． 3 2
4
C． 2 3
3
D． 2 3
7. 等差数列 na 的公差不为零，其前 n 项和为 nS ，若 7 43a a ，则 10
4
S
a
的值为
A. 15 B. 20 C. 25 D. 40
8. 已知 P 为圆 2 21 1x y 上任一点， A ， B 为直线l ：3 4 7 0x y 上的两个动
点，且 3AB ，则 PAB 面积的最大值为
A．9 B． 9
2
C．3 D． 3
2
9. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若
B
b
A
aba tantan
，则角 C＝
A.
6
B.
4
C.
3
D.
2
10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A． 14 2
B． 5 10 1
2 2
C． 5 10 1 2
2 4
D． 1 24 4
11.已知 )(xf 是定义在 R 上的奇函数， ,0)2()(, xfxfRx 恒有 且当 ]1,0(x
时 12)( xxf ，则 )2021(...)2()1()0( ffff
A. 1 B.2 C.3 D.4
12.已知函数 ( ) cos sin2f x x x ，下列结论中错误的是
A. ( )y f x 的图像关于点 ( ,0) 中心对称
B. ( )y f x 的图像关于直线
2x 对称
C. ( )f x 的最大值为 3
2
D. ( )f x 既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．设实数 x ， y 满足
0
2 1 0
2 1 0
y x
y x
x y
，则 z x y 的最大值为_________
14. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐
朝诗人王之涣的《登鹤雀楼》，鹤雀楼
位于今山西永济市，该楼有三层，前
对中条山，下临黄河，传说常有鹤雀
在此停留，故有此名。下面是复建的
鹤雀楼的示意图，某位游客（身高忽
略不计）从地面 D 点看楼顶点 A 的仰
角为 30°，沿直线前进 79 米到达 E
点，此时看点 C 的仰角为 45°，若
BC=2AC，则楼高 AB 约为____。（保留
到整数位， )7321.13
15．函数 2ln)( 2 xxxf 的图象在点 ))1(,1( f 处的切线方程为____
16． 已知 )(xf 是定义在 R 上的函数 ( )f x 的导函数，且 ( ) ( ) 0f x f x ，则 2 (ln 2),a f
(1), (0)b ef c f 的大小关系为_________
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17--21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17．（本小题满分 12 分）
等比数列 na 中， 1 1a ，且 22a ， 4a ， 33a 成 等 差 数
列，公比 1q ．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）记 2n nb na ，求数列 nb 的前 n 项和 nT
18. (本小题满分 12 分)
某保险公司给年龄在 20-70 岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000 名参
保人员中随机抽取100 名作为样本进行分析，按年龄段 20,30 、 30,40 、 40,50 、
50,60 、 60,70 分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳
的保费如下表所示.
年龄（单位：岁） [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
保费（单位：元） 30 60 90 120 150
（1）求频率分布直方图中实数 a 的值，并求出该样本
年龄的中位数；
（2）现分别在年龄段 20,30 、 30,40 、 40,50 、
50,60 、 60,70 中各选出1人共5人进行回访.
若从这5人中随机选出 2 人，求这 2 人所交保费
之和大于 200 元的概率.
19. (本小题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，点 D ， E 分别为 AC 和 1 1B C 的中点.
（1）证明： //DE 平面 1 1ABB A ；
（2）若 AB BC ， 1 2AB BC AA ，求点 D 到平面
ABE 的距离.
20. (本小题满分 12 分)
已知函数 ln ,tf x x s s tx
R ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 2t 时，若函数 f x 恰有两个零点 1 2 1 2, 0x x x x ，证明： 1 2 4x x ．
21. (本小题满分 12 分)
已知点 P 3( 1, )2
是椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点，F1、F2 分别是椭圆
的左、右焦点， 1 2 4PF PF
（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）设直线 l 不经过 P 点且与椭圆 C 相交于 A，B 两点.若直线 PA 与直线 PB 的斜率
之和为 1，问:直线 l 是否过定点?证明你的结论
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一
题计分
选修 4-4：坐标系与参数方程
22. （本题满分 10 分）
在直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程: 1 cos
sin
x
y
（ 为参数），曲线 C2 的普
通方程:y2=8x，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长
度单位，建立极坐标系
（1）分别求曲线 C1、曲线 C2 的极坐标方程;
（2）射线 = 3
与曲线 C1、曲线 C2 的交点分别为 P，Q(均异于 O 点)，C(1，0)，求
∆PQC 的面积
选修 4-5：不等式选讲
23. （本题满分 10 分）
已知 1 3f x x x .
（1）若存在 0x 使得 2
0 6f x m m ，求 m 的取值范围；
（2）记 0m 是（1）中 m 的最大值且 3 3
0a b m ，证明 0 2a b .
阆中中学校高 2018 级 2020 年秋第三学月教学质量检测
文科数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A D C B B B D D C C
二、填空题
13．
5
4 14. 74 米 15. 43 xy 16. c＜a＜b
三、解答题
17．解：（1）因为 22a ， 4a ， 33a 成等差数列，所以 4 2 32 2 3a a a ，即
3 2
1 1 12 2 3a q a q a q ， ………2 分
又 1q ， 1 1a ，所以 22 2 3q q ，即 22 3 2 0q q ，所以 2q ，…4 分
所以 na 的通项公式为 12n
na ． ………6 分
（2）因为 2n nb na ，所以 2n
nb n ， ………7 分
所以 2 31 2 2 2 3 2 2n
nT n L ① ………8 分
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n
nT n L ② ………9 分
1 －②得 2 3 12 2 2 2 2n n
nT n L ， ………10 分
12 2 1
22 1
n
n
nT n
，所以 11 2 2n
nT n ．………12 分
【点睛】 本题考查等差数列、等比数列的基本运算、求通项、考查错位相
减法求数列前 n 项和的方法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．【详解】
（1） 0.007 0.018 0.025 0.020 10 1a ，解得： 0.030a . ………3
分
设 该 样 本 年 龄 的 中 位 数 为 0x ， 前 两 个 矩 形 的 面 积 之 和 为
0.007 0.018 10 0.25 0.5 ， 前 三 个 矩 形 的 面 积 之 和 为
0.007 0.018 0.030 10 0.55 0.5 ，所以 040 50.x
0 40 0.03 0.18 0.07 0.5x ，解得 0
1483x ； ………6 分
（2）设回访的这5人分别记为 30a 、 60a 、 90a 、 120a 、 150a ，从5人中任选2 人
的基本事件有： 30 60,a a 、 30 90,a a 、 30 120,a a 、 30 150,a a 、 60 90,a a 、 60 120,a a 、
60 150,a a 、 90 120,a a 、 90 150,a a 、 120 150,a a ，共10种.………9 分
事件“两人保费之和大于 200 元”包含的基本事件有： 60 150,a a 、 90 120,a a 、
90 150,a a 、 120 150,a a ，共4 种. ………10 分
两人保费之和大于 200 元的概率为 4 2
10 5P . ………12 分
【点睛】 本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、古
典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【详解】（1）证明：取 AB 的中点 M ，连结 DM ， 1MB (如图)
∵ AD DC ， AM MB ∴ / /DM BC ， 1
2DM BC ………2 分
由棱柱的性质知： 1 1//BC B C ， 1 1BC B C
又 1 1B E EC ∴ 1/ /DM B E ， 1DM B E ………3 分
∴四边形 1DMB E 为平行四边形，所以 1/ /DE MB ………4 分
∵ 1MB 平面 1 1ABB A ， DE 平面 1 1ABB A
∴ / /DE 平面 1 1ABB A ………6 分
（2）设点 D 到平面 ABE 的距离为 d
∵ D 是 AC 的中点，且 AB BC ， 2AB BC
∴ 1 1 1 2 2 12 2 2ABD ABCS S △ △ ………7 分
由 E平面 1 1 1A B C 及直棱柱的性质知， E 到平面 ABD 的距
离 为 1 2AA
∴ 1 223 3E ABD ABDV S △ ………8 分
由直棱柱的性质知： 1 1BB B E ， 1BB AB
又 AB BC ，且 1BC BB B ∴ AB 平面 1 1B BCC
又 BE 平面 1 1B BCC 故 AB BE ………9 分
∴ 2 2 2 2
1 1
1 1 2 2 1 52 2ABES AB BE BB B E △ ………10 分
∵ 1
3E ABD D ABE ABEV V dS △ ………11 分
∴ 3 2 2 5
55
E ABD
ABE
Vd S
△
………12 分
【点睛】本题考查线面平行的证明和点到面的距离，考查逻辑思维能力，属于中档题.
20．（1）解： 2 2
1 0t x tf x xx x x
， ………1 分
当 0t 时， 0f x ， f x 在 0, 上单调递增； ………2 分
当 0t 时，由 0f x ，得0 x t ，由 0f x 得 x t ，………4 分
所以 f x 在 0,t 上单调递减，在 ,t 上单调递增． ………5 分
（2）证明：因为 f x 恰有两个零点 1 2 1 2, 0x x x x ，
所以 1 1
1
2ln 0f x x sx
， 2 2
2
2ln 0f x x sx
，
得 1 2
1 2
2 2ln lns x xx x
，所以 2 1 2
1 2 1
2 lnx x x
x x x
． ………7 分
设 2
1
1xt x
，则
1
2 1ln tt tx
，
1
2 1
ln
tx t t
，
所以 2
1 2 1
2 1
1 ln
t
x x x t t t
，
所以
2
1 2
12 2ln
4 ln
t ttx x t
． ………9 分
令
2 1 2lnth t tt
，因为 2
2
1 0th t t
，所以 h t 在 1, 上单调递增，
因为 1t ，所以 1 0h t h ， ………11 分
又 2
1
1xt x
，ln 0t ，故 1 2 4x x 成立． ………12 分
21．【详解】
（1）由 1 2| | | | 4PF PF ，得 2a ， ………2 分
又 31 2P
， 在椭圆上，代入椭圆方程有 2 2
1 9 14a b
，解得 3b ，…4 分
所以椭圆 C 的标准方程为
2 2
14 3
x y ． ………5 分
（2）证明：当直线 l 的斜率不存在时， 1 1( )A x y， ， 1 1( )B x y， ，
1 1
1 2
1
3 3
2 2 11
y y
k k x
，解得 1 4x ，不符合题意； ………6 分
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 y kx m ， 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ，
由 2 23 4 12 0
y kx m
x y
，整理得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m ，
1 2 2
8
3 4
kmx x k
，
2
1 2 2
4 12
3 4
mx x k
， 2 24 3 0k m ． ………8 分
由 1 2 1k k ，整理得 1 2 1 2
5(2 1) ( ) 2 4 02k x x k m x x m ，
即 ( 4 )(2 2 3) 0m k m k ． ………10 分
当 3
2m k 时，此时，直线 l 过 P 点，不符合题意；
当 4m k 时 ， 2 24 3 0k m 有 解 ， 此 时 直线 l ： ( 4)y k x 过 定 点
( 4 0) ， ． ………12 分
【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中直线过定点问题.
22．解：（1）由曲线 1C 的参数方程 1 cos ,
sin ,
x
y
( 为参数)，
消参得曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2( 1) 1x y ， ………2 分
由 cos ,
sin ,
x
y
得曲线 1C 的极坐标方程为 2cos ．………4 分
曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 8cos ………5 分
（2） 1 2 2
8cos 13| | | | 2cossin 3PQ ， ………7 分
点 1C 到直线| |PQ 的距离 3
2d ， ………9 分
所以
1
1 13 3| |2 12PQCS PQ d △ ． ………10 分
【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的综合问题.
23．【详解】
（1）由题得 1 3 | 1 3| 4f x x x x x ，
所以 2 24 6, 2 0, ( 2)( 1) 0m m m m m m ，
所以 1 2m . ………5 分
（2）由题得 3 3 2a b ，所以 2 2 2 232=( )( ) ( )[( ) ]2 4
ba b a ab b a b a b ，
因为 2 23( ) 02 4
ba b ，所以 0.a b
2 2 2 2 2 33 12=( )( ) ( )[( ) 3 ] ( )[( ) ( ) ] ( )4 4a b a ab b a b a b ab a b a b a b a b ，
(当且仅当 a b 时取等)
所以 3( ) 8, 2a b a b . 所以0 2a b 得证. ………10 分
【点睛】本题主要考查利用三角绝对值不等式求最值，考查一元二次不等式
的解法，考查不等式的证明和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平.