2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册课时分层作业：10 5页

www.ks5u.com 课时分层作业(八)　复数的三角形式及其运算 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．复数－i的三角形式是(　　)‎ A．cos＋isin B．cos＋isin C．cos－isin D．cos＋isin A　[－i＝cosπ＋isinπ ‎＝cos＋isin ‎＝cos＋isin.]‎ ‎2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　)‎ A． B．或 C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)‎ D　[因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，‎ 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，‎ 所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．]‎ ‎3．复数sin 4＋icos 4的辐角主值为(　　)‎ A．4 B．－‎4 C．2π－4 D．－4‎ D　[sin 4＋icos 4＝cos＋isin.]‎ ‎4．复数sin 50°－isin 140°的辐角主值是(　　)‎ A．150° B．40° C．－40° D．320°‎ D　[sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°.]‎ ‎5．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　)‎ A． B． C． D． A　[因为1＋i＝，‎ cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，‎ 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)‎ ‎＝ ‎＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知z＝cos＋isin，则arg z2＝________.‎ π　[因为arg z＝，所以arg z2＝2arg z＝2×＝.]‎ ‎7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．‎ ‎1－i　[(1＋i) ‎＝ ‎＝ ‎＝＝1－i.]‎ ‎8．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角主值是________．‎ 　[由题知，z1＝2，‎ z2＝2，‎ 所以的辐角的主值为－＝.]‎ 三、解答题 ‎9．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．‎ ‎[解]　因为z1＝2，‎ 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，‎ 所以z1z＝8.‎ 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.‎ ‎10．已知z＝－2i，z1－z2＝0，arg z2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，B，且|AB|＝，求z1和z2.‎ ‎[解]　由题设知z＝1－i，因为|AB|＝，即|z1－z2|＝，‎ 所以|z1－z2|＝|z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝，又arg z2＝，‎ 所以z2＝＝＋i，‎ z1＝z2＝(1＋i)z2＝·＝2＝－＋i.‎ ‎11．若复数z＝(a＋i)2的辐角主值是，则实数a的值是(　　)‎ A．1 B．－‎1 C．－ D．－ B　[因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，arg z＝，‎ 所以所以a＝－1，故选B．]‎ ‎12．设π＜θ＜，则复数的辐角主值为(　　)‎ A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π B　[＝＝cos 3θ＋isin 3θ.‎ 因为π＜θ＜，所以3π＜3θ＜，‎ 所以π＜3θ－2π＜，故选B．]‎ ‎13．已知复数z满足z2＋2z＋4＝0，且arg z∈，则z的三角形式为________．‎ z＝2　[由z2＋2z＋4＝0，得z＝(－2±2i)＝－1±i.‎ 因为arg z∈，所以z＝－1－i应舍去，‎ 所以z＝－1＋i＝2.]‎ ‎14．设O为复平面的原点，A，B为单位圆上两点，A，B所对应的复数分别为z1，z2，z1，z2的辐角主值分别为α，β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，‎ 求tan(α＋β)．‎ ‎[解]　由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β.‎ 因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，‎ 所以＝＋i，即 所以所以tan＝，‎ 故tan(α＋β)＝＝.‎